特征值的min-max刻画(Courant-Fischer) 对实数对称矩阵A,最大的特征值 xTAx An(A)=maxx+0 xTx 证明：等号可以取到。只需要证明A≤n(A)。 因为A是实数对称矩阵，可以设A的两两正交的特征向量为 V1,)2,,Vn xTAx=(a1v1+…+anvn)A(a1v1+…+anVn) =1a+…+1na晚≤ln(a好+…+a) xTx=(a1v1+…+anvn)Y(a1v1+…+ann)=a☑+…+a2 因此经≤n 13 特征值的min-max刻画 (Courant-Fischer) • 对实数对称矩阵A，最大的特征值 �� � = ����#� ��� � ��� 证明：等号可以取到。只需要证明��� � ��� ≤ �� � 。 因为 � 是实数对称矩阵，可以设 �的两两正交的特征向量为 ��, ��, . . , �� �)�� = ���� + ⋯ + ���� �� ���� + ⋯ + ���� = ���� � + ⋯ + ���� � ≤ �� �� � + ⋯ + �� � ��� = ���� + ⋯ + ���� � ���� + ⋯ + ���� = �� � + ⋯ + �� � 因此��� � ��� ≤ �� 13