数学分析课程中的几个反例 1.处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上,数学家们一直猜测:连续函数在其定 义区间中,至多除去可列个点外都是可导的。也就是说,连续函数的 不可导点至多是可列集。虽然这一猜测是错误的,但数学家在很长一 段时期一直没能找到反例,原因是在当时函数的表示手段有限,而仅 仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑,是找不到反 例的。但是随着级数理论的发展,函数表示的手段扩展了,数学家可 以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。 Weierstrass是一位研究级 数理论的大师,他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数,为上述猜测做了一个否定的终结 f(x)=2a"sin(bx),0<a<l<b,ab>l 下面叙述的反例在证明上要相对简易些,它是由荷兰数学家van Der waerden于1930年给出的。 设q(x)表示x与最邻近的整数之间的距离,例如当x=1.26,则(x) 0.26;当x=367,则φ(x)=0.33。显然o(x)是周期为1的连续函数, 且o(x)≤1/2。 注意当x,y∈[k,k+小或k+,k+1]时,成立0(x)-(y)Hx-y1。 Van der waerden给出的例子是 f(x)=∑ 由p0n,及∑,的收敛性,根据 Weierstrass判别法, 上述函数项级数关于x∈(-∞,+∞)一致收敛。所以f(x)在(-∞,+∞)连续数学分析课程中的几个反例 1．处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定 义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的 不可导点至多是可列集。虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一 段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅 仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反 例的。但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可 以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是一位研究级 数理论的大师，他于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： ( 0 ( ) sin n n n f x ab ) ∞ = = ∑ x ， < < 10 < ba ， ab > 1。 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的。 设 (x)表示x与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则 (x) = 0.26；当 x = 3.67，则 ϕ ϕ ϕ (x) = 0.33。显然ϕ (x)是周期为 1 的连续函数， 且 。 x ≤ϕ 2/1)( 注意 当 x, y ] 2 1 ,[ kk +∈ 或 ]1, 2 1 [ kk ++ 时，成立 ϕ −ϕ −= yxyx |||)()(| 。 Van Der Waerden 给出的例子是： xf )( = ∑ ∞ = ϕ 0 10 )10( n n n x 。 由 n n x 10 ϕ )10( ≤ n 102 1 ⋅ ，及∑ ∞ = ⋅ 0 102 1 n n 的收敛性，根据 Weierstrass 判别法， 上述函数项级数关于 x +∞−∞∈ ),( 一致收敛。所以 xf )( 在 连续。 +∞−∞ ),( 1