b≤A+B dx+lyi-dy (2)y 现在设 Il f p =volf()I du p>0 Il -l.&(r daF>0 (在‖f。与l至少一个为0的情况下, Holder不等 式的成立是显然的).作函数 (t) l g lg 利用 Young不等式得到 la(0)b(okla(P, lb(P 从而 L[OPdu+ gord Pq‖g p q 换回到函数∫,g,则知(1)成立 3°设p≥1,f,g∈DP(4),则 Minkowski不等式成立 lf+gl圳∫lb+‖g‖ (3) 实际上,当p=1时 15+8=/(+g(ldu solS(ldu+loig(ldu =ll/l,+ll ll P 现设p>1.当∫,8∈L(p)时,f+g∈L"(p),此时|f+g|"∈L"(4).由 Holder 不等式 ∫l‖f+glq b p a ab A B x x y y p q b q a p ≤ + = + = + ∫ ∫ − − 0 1 0 1 d d ． （2） 现在设 || || ( | ( )| d ) 0 1 = > ∫ p p p f f t Ω µ ， || || ( ) | ( )| d 0 1 = > ∫ q q q g g t Ω µ ， （在 p || f || 与 g q || || 至少一个为 0 的情况下，Hölder 不等 式的成立是显然的）．作函数 p f f t a t || || ( ) ( ) = ， q g g t b t || || ( ) ( ) = ， 利用 Young 不等式得到 q b t p a t a t b t p q | ( )| | ( )| | ( ) ( )|≤ + ． 从而 ∫ ∫ ∫ ≤ + Ω Ω Ω µ µ | ( )| dµ 1 | ( )| d 1 | ( ) ( )| d p q b t q a t p a t b t ∫ ∫ = + Ω Ω µ dµ || || 1 | ( )| d || || 1 | ( )| q q q p p p g g t f q f t p 1 1 1 = + = p q ． 换回到函数 f ， g ，则知（1）成立． 3°设 p ≥1， , () p fg L ∈ µ ，则 Minkowski 不等式成立 p p g p || f + g || ≤|| f || + || || . （3） 实际上，当 p =1时， ∫ + = + Ω || f g ||1 | f (t) g(t) | dµ ∫ ∫ ≤ + Ω Ω | f (t)| dµ | g(t) | dµ 1 1 =|| f || + || g || ． 现设 p > 1．当 , () p fg L ∈ µ 时， ( ) p f gL + ∈ µ ，此时| | () p q q fg L + ∈ µ ．由 Hölder 不等式 q q p p q p | f | | f + g | d ≤|| f || || | f + g | || ∫Ω µ ， 0 a b a′ x y −1 = p y x 图