g!+g"dsgl,Ⅲf+gl4 所以 J+gPd=』J+gl+grda sJoISIIS+ledu+loll f+gdu JoISII5+gl du+olgll/+gld s‖∫,Ⅲf+gl4+lg‖Ⅲf+g| =ll Sp +Il (1f+gI duF 由此式得出 1/+g (ol+gI du)i$ l /,+ll 4°当p≥1时,以‖∫为范数,L(A)成为线性赋范空间 实际上,‖f2≥0·若fl=0,则f()=0,ae,将ae,相等的函数视为同一元, 即∫=0.显然af2=a川!f成立。再由3°三角不等式成立。所以‖∫是L()上的 范数. 5°当p=2时,定义 (, g)=Lf(g(du,f,gEL 则(,)是L2(A)上的内积,此时(A)成为内积空间 值得注意的是 Minkowski不等式中等号成立的条件,不妨设f,g均不为0元,由于 Young不等式中等号成立当且仅当b=o(a),故 Holder不等式中等号成立当且仅当 g(1)=k|∫()",ae.,其中k>0为常数.在证明 Minkowski不等式时用到函数f与 ∫+g|以及lgl与|∫+g|",故等号成立当且仅当∫+g|"=k1|∫|°,|∫+g1|"=k2|g|, ae.此时必有f()=cg(1),ae.其中c为非负常数 例2空间L(p) 仍设(2,E,)为测度空间,记L()是在上与一个有界函数几乎处处相等的可测函 数全体,称此种函数为本性有界可测函数.若=[a,b],μ为上的 Lebesque测度,则记 L =Lla,b. 1°L"()是线性空间.例如,若∫在Ω\E1上有界,g在Ω\E2上有界 (E1)=以(E2)=0.则f与∫+g分别在g2\E1与\(E1UE2)上有界.以(E1UE2)=0,故q q p p q p | g | | f + g | d ≤|| g || || | f + g | || ∫Ω µ ， 所以 ∫ ∫ − + = + + Ω Ω | | dµ | | | | dµ p p 1 f g f g f g ∫ ∫ − − ≤ + + + Ω Ω | | | | dµ | | | | dµ p 1 p 1 f f g g f g ∫ ∫ = + + + Ω Ω | | | | dµ | | | | dµ q p q p f f g g f g q q p q p q p p ≤ || f || || | f + g | || + || g || || | f + g | || ( )q p f p g p f g 1 (|| || || || ) | | d ∫ = + + Ω µ 由此式得出 ( ) p p q p || f g || p | f g | d || f || || g || 1 1 + = + ≤ + − ∫Ω µ ． 4°当 p ≥1时，以 p || f || 为范数， ( ) p L µ 成为线性赋范空间． 实际上，|| || ≥ 0 p f ．若|| || = 0 p f ，则 f (t) = 0， a.e.，将 a.e.相等的函数视为同一元， 即 f = 0 ．显然 p p ||αf || =|α | || f || 成立。再由 3°三角不等式成立。所以 p || f || 是 ( ) p L µ 上的 范数． 5°当 p = 2时，定义 ∫ = Ω ( f , g) f (t)g(t)dµ ， 2 f , g ∈ L ． 则(⋅,⋅) 是 2 L ( ) µ 上的内积，此时 2 L ( ) µ 成为内积空间． 值得注意的是 Minkowski 不等式中等号成立的条件．不妨设 f ， g 均不为 0 元，由于 Young 不等式中等号成立当且仅当 b = ϕ(a) ，故 Hölder 不等式中等号成立当且仅当 q p | g(t)|= k | f (t)| ， a.e. ，其中 k > 0 为常数．在证明 Minkowski 不等式时用到函数| f | 与 q p | f + g | 以及| g |与 q p | f + g | ，故等号成立当且仅当 q p q p | f g | k | f | + = 1 ， q p q p | f g | k | g | + = 2 ， a.e.．此时必有 f (t) = cg(t)， a.e. 其中c 为非负常数． 例 2 空间 L ( ) µ ∞ ． 仍设(Ω,Σ , µ)为测度空间，记 L ( ) µ ∞ 是在Ω 上与一个有界函数几乎处处相等的可测函 数全体，称此种函数为本性有界可测函数．若Ω = [a,b] ，µ 为Ω 上的 Lebesque 测度，则记 L L [a,b] ∞ ∞ = ． 1 ° L ( ) µ ∞ 是线性空间．例如，若 f 在 1 Ω \ E 上有界， g 在 2 Ω \ E 上有界， ( ) ( ) 0 µ E1 = µ E2 = ．则αf 与 f + g 分别在 1 Ω \ E 与 \ ( ) Ω E1 ∪ E2 上有界． ( ) 0 µ E1 ∪ E2 = ，故