af,f+g∈L(),L(4)是线性空间 2°对于任意的∫∈L°,定义 lf‖= (4) ‖∫称为∫的本性最大模或本性上确界.有时记 lf‖= ess sulf(D) 我们证明,将Ω上ae相等的函数视为同一元,则L是L()上的范数 实际上对于每个∫∈L(p),存在E0cg2,以(E0)=0使得‖f=sup|f(t)|.换句话 说,‖∫可以在某个与Ω几乎相等的集合上达到.为此,取EnCΩ使山(En)=0 sup voll/l+ 记E=UEn,则一方面以(E0)=0,故由‖∫2的定义 sup f(D)|≥‖f‖ 另一方面 upf(D)≤ sup If(l)|sfl。+ E0与n无关,故 sup If()s‖f‖.于是 ‖f‖= sup If(t) ∈E 现在验证|1是L()上的范数 (1)显然f≥0.若‖f2=0,则彐E0C,以(E0)=0使得在g\E0上,f(m)=0, 即f(1)=0,ae,将ae为0的函数视为0元,则∫=0 (2)显然‖f‖=a!f‖ (3)设f,g∈L“(),E1,E2C2,以(E1)=以(E2)=0并且f,g分别在\E1,\E2 上达到本性最大模,则 ‖f≥+‖g‖=sup|f(1)|+ sup i g()l ≥sup|f()|+ sup g(D) I∈mEUE2 E(EUE: ≥ sup f(n)+g(1)α ff g L , () µ ∞ + ∈ ， L ( ) µ ∞ 是线性空间． 2°对于任意的 ∞ f ∈ L ，定义 || || inf sup | ( ) | \ ( ) 0 f f t t E E E Ω µ Ω ∈ = ⊂ ∞ = ． （4） ∞ || f || 称为 f 的本性最大模或本性上确界．有时记 || f || esssup | f (t) | t∈Ω ∞ = ． 我们证明，将Ω 上 a.e.相等的函数视为同一元，则 ∞ || ⋅ || 是 L ( ) µ ∞ 上的范数． 实际上对于每个 f L ( ) µ ∞ ∈ ，存在 E0 ⊂ Ω ， ( ) 0 µ E0 = 使得|| || sup | ( ) | 0 \ f f t t∈Ω E ∞ = ．换句话 说， ∞ || f || 可以在某个与Ω 几乎相等的集合上达到．为此，取 En ⊂ Ω 使 ( ) = 0 µ En ， n f t f t E 1 sup | ( )| || || 0 \ ≤ ∞ + ∈Ω ． 记 n n E E ∞ = = 1 0 ∪ ，则一方面 µ(E0 ) = 0 ，故由 ∞ || f || 的定义 ∞ ∈ sup | ( )| ≥ || || 0 \ f t f t Ω E ． 另一方面 n f t f t f En t E t 1 sup | ( )| sup | ( )| || || \ \ 0 ≤ ≤ ∞ + ∈Ω ∈Ω ． E0 与 n 无关，故 ∞ ∈ sup | ( )| ≤ || || 0 \ f t f t Ω E ．于是 || || sup | ( ) | 0 \ f f t t∈Ω E ∞ = ． 现在验证 ∞ || ⋅ || 是 L ( ) µ ∞ 上的范数． （1）显然|| || ≥ 0 ∞ f ．若|| || = 0 ∞ f ，则∃E0 ⊂ Ω ， ( ) 0 µ E0 = 使得在 0 Ω \ E 上，| f (t) |= 0 ， 即 f (t) = 0， a.e.将 a.e.为 0 的函数视为 0 元，则 f = 0 ． （2）显然 ∞ = ∞ ||αf || |α | || f || ． （3）设 fg L , () µ ∞ ∈ ，E1 ,E2 ⊂ Ω ， ( ) ( ) 0 µ E1 = µ E2 = 并且 f ，g 分别在 1 Ω \ E ， 2 Ω \ E 上达到本性最大模，则 || || || || sup | ( )| sup | ( )| 1 2 \ \ f g f t g t t∈Ω E t∈Ω E ∞ + ∞ = + sup | ( )| sup | ( ) | \( ) \( ) 1 2 1 2 f t g t t∈Ω E ∪E t∈Ω E ∪E ≥ + sup | ( ) ( ) | \( ) 1 2 f t g t t E E ≥ + ∈Ω ∪