洲∫+g‖ 3°将ae相等的函数视为同一元,L(4)依范数‖∫‖成为线性赋范空间 4°若f∈L(p),g∈L(),容易验证有 jdsf‖gl (5) 例3空间(1≤p≤∞) 考虑无穷序列空间中的元,P(1≤p<∞)是使∑|xn<∞的元素全体.是使 sup xh<∞的元素全体.定义 lx=∑|xP (1≤p<∞) (6) 则是线性赋范空间 实际上当1<p<∞时,利用 Young不等式(2)可以得出 Holder不等式 xnyn|∑x∑|y門 其中x=(x)1,y=(y,)∈P",并且1+1=1.然后可以证明当1≤p<m时, Minkowski 不等式成立 (8) 总之,对于1sp≤∞,‖2是P上的范数 特别地,当p=2时,若规定 (x,y)=∑xn 则(,)是P2上的内积,P是内积空间 空间PP可以看成LP的特殊情况.取Ω=N(全体正整数),E由N的全体子集构成 对于每个E∈∑,以(E)是E中元素的个数.此时(N,E,)是测度空间,L()=1 思考题 1、证明当A(2)<∞时,若1≤p≤q≤∞,则 L CLCLPCL≥ + ∞ || f g || ． 3°将 a.e.相等的函数视为同一元， L ( ) µ ∞ 依范数 ∞ || f || 成为线性赋范空间． 4°若 1 f L ∈ ( ) µ ， g L ( ) µ ∞ ∈ ，容易验证有 ∫ ≤ ∞ d || || || || 1 fg f g Ω µ ． （5） 例 3 空间 p l (1≤ p ≤ ∞)． 考虑无穷序列空间中的元， p l (1≤ p < ∞) 是使 ∑ < ∞ ∞ =1 | | n p n x 的元素全体． ∞ l 是使 < ∞ ≥ sup | | 1 n n x 的元素全体．定义  < ∞      = ∑ ∞ = p n p p n x x 1 1 || || | | ，(1≤ p < ∞) || || sup | | n n x = x ∞ . （6） 则 p l 是线性赋范空间． 实际上当1< p < ∞ 时，利用 Young 不等式（2）可以得出 Hölder 不等式 q n q n p n p n n n n x y x y 1 1 1 1 1 | | | | | |             ∑ ≤ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ， （7） 其中 p n x = (x )∈l ， q n y = ( y )∈l ，并且 1 1 1 + = p q ．然后可以证明当1≤ p < ∞ 时，Minkowski 不等式成立 p n p n p n p n p n p n n x y x y 1 1 1 1 1 1 | | | | | |        +       ≤      ∑ + ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ， （8） 总之，对于1≤ p ≤ ∞ ， p || ⋅ || 是 p l 上的范数． 特别地，当 p = 2时，若规定 ∑ ∞ = = 1 ( , ) n n n x y x y ， 2 ∀x, y ∈l ， 则(⋅,⋅) 是 2 l 上的内积， 2 l 是内积空间． 空间 p l 可以看成 p L 的特殊情况．取 Ω = N （全体正整数）， Σ 由 N 的全体子集构成， 对于每个 E ∈Σ ， µ(E) 是 E 中元素的个数．此时(N,Σ ,µ) 是测度空间， ( ) p p L l µ = ． 思考题 1、证明当 µ(Ω) < ∞ 时，若1≤ p ≤ q ≤ ∞ ，则 1 L L L L q p ⊂ ⊂ ⊂ ∞ ．