但当(92)=∞时,LP与L互不包含 2、对于1≤p≤q≤∞,证明c/cPc1° 3、证明‖fl.=infC>0,{f>C}=0}=sup{C>0,;{f>C}>0 例4空间c与co 用c表示收敛的标量序列的全体,即 c={x=(x)x∈,imx,存 定义 ‖x|= sup x I,vx=(xn)∈c, 则c是线性赋范空间 co是收敛于0的标量序列全体,即 co={x=(xn),xn∈①, lim x=0} co上的范数与c中的范数相同,co也是线性赋范空间.从而co是c的线性子空间.另外c又 可以看成的线性子空间 例5空间Va,b]与Va,b] {ab]是[ab]上的有界变差函数全体,对于每个∫∈[a,b,定义 f|f(a)|+V() (9) 其中V()为∫在ab]上的全变差 O=sup∑(b)-f(a), r=1 这里丌代表[a,b的任一分划a=a1<b1≤…≤an<b=b Jab]按函数空间的运算是线性空间,我们验证它是赋范空间.实际上, 1°显然‖∫爬0.若Ⅲf=0,则f(a)=0,V(O=0.此时sup∑|f(b)-f(a)|=0, 其中上确界是对任一组分划而取的.故vt∈[a,b,f(t)=f(a)=0,即∫=0 2°显然‖f旧al!∫ 3°对于任一组分点, ∑|(+gyb)-(+g)a,)s∑|(b)-f(a)|+∑|g(b)-8(a, ≤()+(g) 关于所有分划取上确界得到但当 µ(Ω) = ∞ 时， p L 与 q L 互不包含． 2、 对于1≤ p ≤ q ≤ ∞ ，证明 ∞ l ⊂ l ⊂ l ⊂ l 1 q p ． 3、 证明 || || = inf{ > 0; { > } = 0} = sup{ > 0; { > } > 0} f ∞ C µ f C C µ f C 例 4 空间c 与 0 c ． 用c 表示收敛的标量序列的全体，即 { ( ); , lim 存在} n n n n c x x x x →∞ = = ∈Φ ． 定义 || || sup | | 1 n n x x ≥ = ， x x c ∀ = ( n )∈ ， 则c 是线性赋范空间． 0 c 是收敛于 0 的标量序列全体，即 { ( ); , lim 0} 0 = = ∈ = →∞ n n n n c x x x Φ x ， 0 c 上的范数与c 中的范数相同， 0 c 也是线性赋范空间．从而 0 c 是c 的线性子空间．另外c 又 可以看成 ∞ l 的线性子空间． 例 5 空间V[a,b]与 [ , ] V0 a b ． V[a,b]是[a,b]上的有界变差函数全体，对于每个 f ∈V[a,b] ，定义 || f || | f (a)| V( f ) b a = + ． （9） 其中V( f ) b a 为 f 在[a,b]上的全变差 ∑= = − n i i i b a V f f b f a 1 ( ) sup | ( ) ( )| π ， 这里π 代表[a,b]的任一分划 a = a1 < b1 ≤"≤ an < bn = b ． V[a,b]按函数空间的运算是线性空间，我们验证它是赋范空间．实际上， 1°显然|| f ||≥ 0 ．若|| f ||= 0 ，则 f (a) = 0 ，V( f ) = 0 b a ．此时sup | ( ) ( ) | 0 1 ∑ − = = n i i i f b f a ， 其中上确界是对任一组分划而取的．故∀t ∈[a,b]， f (t) = f (a) = 0 ，即 f = 0 ． 2°显然||αf ||=|α | || f ||． 3°对于任一组分点， ∑ ∑ ∑ = = = + − + ≤ − + − n i i i n i i i n i i i f g b f g a f b f a g b g a 1 1 1 | ( )( ) ( )( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( )| V ( f ) V (g) b a b a ≤ + ． 关于所有分划取上确界得到