0"型的罗必达法则 定理5.设函数f(x,g(x)满足下列条件 ()imf(x)=img(x)=0;(2)在U(a,8)内可导,且g(x)≠0 x→a Ⅳ(或∞) 则有mim2() l(或∞ g (x) x→a g(x) 证因求himf(x) →ag(x) 与f(a)及g(无关,则可定义f(a)=g()=0 从而f(x)和g(x)在点a处连续.则由条件(1)(2)可知 f(x)和g(x)在点a的邻域U,)内是连续可导的 设x是该邻域内的一点,则f(x)和g(x在以x和a为端点 的区间[x,a或l,x上满足柯西中值定理的条件,故在{x q或{x内至少存在一点5,使得2 一. 型的罗必达法则 0 " " 0 定理5. 设函数ƒ(x), g(x)满足下列条件： 0 (1)lim ( ) lim ( ) 0; (2) ( , ) , ( ) 0; ( ) (3)lim ( ). ( ) x a x a x a f x g x U a g x f x l g x  → → → = =    =   在 内可导 且 或 ( ) lim ( ). ( ) x a f x l → g x 则有 或 =  证 因求 与ƒ(a)及g(a)无关, ( ) lim ( ) x a f x → g x 则可定义 ƒ(a) = g(a) = 0 从而 ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 处连续. 则由条件(1)、(2)可知, ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 的邻域U(a, δ)内是连续可导的. 设x是该邻域内的一点, 则 ƒ(x) 和 g(x) 在以 x 和 a 为端点 的区间[x, a]或[a, x]上满足柯西中值定理的条件, 故在 [x, a] 或 [a, x] 内至少存在一点ξ , 使得