§42罗必达( HOspite法则 在第二章中我们已经知道 型的极限可能 存在,也可能不存在 sInd 例:求1.lim =1→则原式极限存在 x→0 2x+1 2Dx3+10→则原式极限不存在 通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算 的极限,为未定式的极限 下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限 的简便而有效的法则一罗必达法则
1 §4.2 罗必达(L’Hospital)法则 0 sin 1.lim 1 . x x → x = 则原式极限存在 0 " "," " 0 在第二章中我们已经知道, 型的极限可能 存在, 也可能不存在. 例: 求 4 3 2 1 2.lim . x 1 x x → x − + = + 则原式极限不存在 通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算 的极限, 为未定式的极限. 下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限 的简便而有效的法则 — 罗必达法则
0"型的罗必达法则 定理5.设函数f(x,g(x)满足下列条件 ()imf(x)=img(x)=0;(2)在U(a,8)内可导,且g(x)≠0 x→a Ⅳ(或∞) 则有mim2() l(或∞ g (x) x→a g(x) 证因求himf(x) →ag(x) 与f(a)及g(无关,则可定义f(a)=g()=0 从而f(x)和g(x)在点a处连续.则由条件(1)(2)可知 f(x)和g(x)在点a的邻域U,)内是连续可导的 设x是该邻域内的一点,则f(x)和g(x在以x和a为端点 的区间[x,a或l,x上满足柯西中值定理的条件,故在{x q或{x内至少存在一点5,使得
2 一. 型的罗必达法则 0 " " 0 定理5. 设函数ƒ(x), g(x)满足下列条件： 0 (1)lim ( ) lim ( ) 0; (2) ( , ) , ( ) 0; ( ) (3)lim ( ). ( ) x a x a x a f x g x U a g x f x l g x → → → = = = 在 内可导 且 或 ( ) lim ( ). ( ) x a f x l → g x 则有 或 = 证 因求 与ƒ(a)及g(a)无关, ( ) lim ( ) x a f x → g x 则可定义 ƒ(a) = g(a) = 0 从而 ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 处连续. 则由条件(1)、(2)可知, ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 的邻域U(a, δ)内是连续可导的. 设x是该邻域内的一点, 则 ƒ(x) 和 g(x) 在以 x 和 a 为端点 的区间[x, a]或[a, x]上满足柯西中值定理的条件, 故在 [x, a] 或 [a, x] 内至少存在一点ξ , 使得
f(x)f(x)-f(a)∫(4在x与a之间) g(x) g(x)-g(a) 8(5) 令x→a,则有2→a lim/(x)=lim lim l(或∞) x→ag(x)5g(5)x→ag(x) 例1求(1)im (1+x)"-1 → 0 sina 解这是""型,用罗必达法则有 原式=lim I(1+x)”-1 lim n(1+x)-I x→>0(sinx) 0 cos x
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a f x a g x g x g a g − = = − 在 与 之间 令 则有 , x a a → → ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x a a x a f x f f x l g x g g x → → → = = = 或 例11 . 求 0 (1 ) 1 (1)lim sin n x x → x + − 0 " "0 解 这是 型, 用罗必达法则有 0 [(1 ) 1]' lim (sin )' n x x → x + − 原式 = 1 0 (1 ) lim cos n x n x n x − → + = =
(2)lim In(e +e ) -In(2 cos x) x→>0 解这是""型,用罗必达法则有 原式=lim SIn x→02xe+e cos x 2x 1 SInd =lim +lim x→02x(e+1) x-0 2x cosx sInr lim lim +lim lim 2x x-0e+1 x-0 x x-0 2 cosx lim +lim x-0e2x+1x-02c0sx22
4 2 0 ln( ) ln(2cos ) (2)lim x x x e e x x − → + − 0 l sin lim ( ) 2 cos x x x x x e e x x e e x − → − − = + + 原式 2 2 0 0 1 sin lim lim 2 ( 1) 2 cos x x x x e x → → x e x x − = + + 2 2 0 0 0 0 1 1 sin 1 lim lim lim lim 2 1 2cos x x x x x x e x → → → → x e x x − = + + 2 0 0 1 1 1 1 lim lim 1 1 2cos 2 2 x x x → → e x = + = + = + 0 " " 0 解 这是 型, 用罗必达法则有
3x+2 3)lm,32-x+1 →1x 解这是""型,用罗必达法则有 以(x-x-x+m-3x2-3 原式=lim (x-3x+2) x→+132-2x-1 6x 3 =lim 6x-22 注1.不是未定式使用罗必达法则,导致错误如(3) sin (lim o sin 解这是""型,用罗必达法则有
5 3 3 2 1 3 2 (3) lim x 1 x x → xxx − + − − + 2 0 1 sin (4)lim x sin x x → x 3 2 3 2 2 1 1 ( 3 2)' 3 3 lim lim x x ( 1)' 3 2 1 x x x → → x x x x x − + − = = − − + − − 原式 1 6 3 lim x 6 2 2 x → x = = − 注1. 不是未定式, 使用罗必达法则, 导致错误.如(3). 0 " " 0 解 这是 型, 用罗必达法则有 0 " " 0 解 这是 型, 用罗必达法则有
x sin 2xsin -+x cos 原式=lim x=lim x→0(sinx) r→0 cos x 2xsin --cos =lim →0 cos x 不存在 注2.罗必达法则是计算未定式极限的简便而有效的方法但 不是万能工具如(4)虽是未定式但不能使用罗必达法则 此例也同时说明了罗必达法则也有“失效”的 时候当1mg(x)不存在,也不为无穷大,不能利 用罗必达法则求极限.但是 x sin a sin 4)lim x=lim X=limx. sin 0 x→0sinx c→)0 x→0
6 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ( sin )' 2 sin cos lim lim x x (sin )' cos x x x x x x x → → x x − + 原式 = = 0 1 1 2 sin cos lim x cos x x x → x − = 不存在 注2. 罗必达法则是计算未定式极限的简便而有效的方法,但 不是万能工具. 如(4)虽是未定式, 但不能使用罗必达法则. 此例也同时说明了罗必达法则也有 “ 失效 ” 的 时候. 当 不存在, 也不为无穷大, 不能利 用罗必达法则求极限. 但是 ( ) lim ( ) x a f x → g x 2 2 000 1 1 sin sin 1 (4)lim lim lim sin 0 xxx sin x x x x x →→→ x x x = = =
15)lim x-sinx 0 解这是""型,用罗必达法则有 原式=lim (-sin x )Lim 3x 1-cos x SIn =lim →>0 0 06x6 注3在求未定式极限时可多次连续使用罗必达法则并且应善 于把罗必达法则与以前求极限的方法结合起来使计算简化 2x xe+xe 2e2+2e (lim →0 (e-1) 解这是""型,用罗必达法则有 ex+2xextettxe-4elx+2e 原式=lim x→>0 3(2-1)
7 3 0 sin (5)lim x x x → x − 3 0 ( sin ) lim ( ) x x x → x − = 原式 2 0 1 cos lim x 3 x → x − = 0 sin 1 lim . x 6 6 x → x = = 注3.在求未定式极限时可多次连续使用罗必达法则;并且应善 于把罗必达法则与以前求极限的方法结合起来,使计算简化. 0 " " 0 解 这是 型, 用罗必达法则有 2 2 3 0 2 2 (6)lim ( 1) x x x x x x xe xe e e → e + − + − 2 2 2 2 0 2 4 2 lim 3( 1) x x x x x x x x x e xe e xe e e → e e + + + − + = − 原式 0 " " 0 解 这是 型, 用罗必达法则有
3e+2xe t xet lim 3(2-1) 3e+2xe+3+x =lim -3ex+2e+2xe+1 3(e-1)2 lim 0 6e(e2-1) =li、e+2xe+1 -e+2e+2xe x→06(e2-1) lim x→0 6e 注4.在求极限的计算过程中应注意随时约分化简或 者分离出容易求极限的因式以兔越算越繁.如(6) 注5.罗必达法则对其它极限过程有同样的结论如 当x→>0时的型仍然可以使用罗必达法则
8 注4. 在求极限的计算过程中, 应注意随时约分化简或 者分离出容易求极限的因式, 以免越算越繁. 如(6). 2 2 2 0 3 2 3 lim 3( 1) x x x x x x x e xe e xe → e e − + + + = − 2 0 3 2 3 lim 3( 1) x x x x e xe x → e − + + + = − 0 3 2 2 1 lim 6 ( 1) x x x x x x e e xe → e e − + + + = − 0 2 1 lim 6( 1) x x x x e xe → e − + + = − 0 2 2 lim 6 x x x x x e e xe → e − + + = 1 6 = 注5. 罗必达法则对其它极限过程有同样的结论.如 当x → 时的 型仍然可以使用罗必达法则. 0 " " 0
arctan x (8)lim x→)+ 解这是""型,用罗必达法则有 原式=im1+x=mimx=1 →}+0 x→+∞1+x 注6.注意im f(x)_1f( ≠Im xng(x)x→ag(x)
9 arctan 2 (8) limx 1 x x →+ − 2 2 1 1 limx 1 x x →+ − + = − 原式 0 " "0 解 这是 型, 用罗必达法则有 ( ) ( ) lim lim[ ] . ( ) ( ) x a x a f x f x → g x g x → 注 6. 注意 2 2 lim 1 x 1 x →+ x = = +
型的罗必达法则 定理6.设函数f(x),gx)满足下列条件: (1)limf(x)=∞o,limg(x)=∞; (2)在U(a,)内可导,且g(x)≠0; (3)lim l(或∞ x→ag'(x) 则有lim f(x=l(或∞) g(x) In cot x 例12求(1)lim x→>0+lny 解这是""型,用罗必达法则有
10 " " 0 (1)lim ( ) , lim ( ) ; (2) ( , ) , ( ) 0; ( ) (3)lim ( ) ( ) x a x a x a f x g x U a g x f x l g x → → → = = = 在 内可导 且 或 ( ) lim ( ). x a ( ) f x l → g x 则有 或 = 0 lncot (1) lim x ln x x → + 二. 型的罗必达法则 定理6. 设函数ƒ(x), g(x)满足下列条件： 例12.求 " " 解 这是 型, 用罗必达法则有
