第四章导数的应用 §4.1中值定理 (o-/a=r(g) §4.2罗必达法则 b-a §4.3函数的单调性 844函数的极值与最值 §4.5曲线的凹性与拐点 §4.6函数作图的基本步骤与方法 §4.7导数在经济中的应用
1 第四章 导数的应用 §4.1 中值定理 §4.2 罗必达法则 §4.3 函数的单调性 §4.4 函数的极值与最值 §4.5 曲线的凹性与拐点 §4.6 函数作图的基本步骤与方法 §4.7 导数在经济中的应用 ( ) ( ) '( ) f b f a f b a − = −
第四章导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出 发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本 定理作为桥梁 §41中值定理 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理. 罗尔(Rol)定理 定理1(罗尔定理)设函数∫x)满足下列条件: (1)在闭区间[a,b上连续 (2)在开区间(a,b)上可导; (3)∫(a)=f(b)
2 第四章 导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具. 仅从导数概念出 发并不能充分体现这种工具的作用, 需要微分学的基本 定理作为桥梁. 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理. §4.1 中值定理 定理1 (罗尔定理)设函数 ƒ(x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 [a , b]上连续; (2) 在开区间 (a, b)上可导; (3) ƒ(a) = ƒ(b); 一. 罗尔(Rolle)定理
在(ab)内至少存在一点3,使得∫()=0 f(x) b r 罗尔定理的几何意义 函数f(x)在|a,b上的图形是连续曲线弧AB,如果除 端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,且在闭区间[a,b 的两个端点a与b处的纵坐标相同,即f(a)=f(b);此时弦
3 则在(a, b)内至少存在一点ξ , 使得 f ( ) 0. = o b x A B y=f(x) a y 罗尔定理的几何意义: 函数ƒ(x)在[a, b]上的图形是连续曲线弧 AB, 如果除 端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间[a, b] 的两个端点a与b处的纵坐标相同, 即ƒ(a) = ƒ(b);此时弦
AB平行于x轴;则在弧AB上至少能找到一点C(ξ, f(),使曲线在点C处的切线平行于弦AB,即平行于 x轴,从而该点C处的切线斜率为 ∫(2)=0. 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取 得,由此启发了我们的证明思路. 证因f(x)在闭区间{a,b上连续,故由第二章定理16知:
4 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取 得, 由此启发了我们的证明思路. AB平行于 x 轴; 则在弧 AB 上至少能找到一点C(ξ‚ ƒ(ξ)), 使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB, 即平行于 x轴,从而该点C处的切线斜率为 f ( ) 0. = o b x A B y = f(x) a y 1 2 证 因ƒ(x)在闭区间[a, b]上连续, 故由第二章定理16知:
f(x)在[a上必有最大值M和最小值m 下面分两种情形讨论: 1)若M=m,则f(x)在[a,b上恒为常数.从而 vx∈(a,b),恒有∫(x)=0
5 ƒ(x)在 [a,b]上必有最大值 M 和最小值 m. 下面分两种情形讨论: (1) 若M = m, 则ƒ(x)在[a , b]上恒为常数. 从而 = x a b f x ( , ), ( ) 0. 恒有 o y x y=M
故在(,b的每一点都可取作点定理显然成立 2)若M≠m,而f(a)=f(b) 则数M与m中至少有一个不等于端点的数值,不妨设 M≠∫(a),从而在区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f(5)=M 下面证明r(5)=0 因f(2)=M,则不论△x>0或△x0时,有 f∫(+△x)-f(2) 0 当Ax<0时,有f(5+A)-f5≥0
6 故在(a , b)内的每一点都可取作 ξ . 定理显然成立. (2) 若 M m , 而ƒ(a) = ƒ(b) M f a ( ), f ( ) 0. = f x f x a b ( ) ( ) 0 ( ( , )) + − + ( ) ( ) 0 (1) f x f x + − ( ) ( ) 0 (2) f x f x + − 从而在区间(a , b)内至少存在一点 ξ.使得ƒ(ξ) =M 则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值, 不妨设 下面证明 因ƒ(ξ)= M,则不论Δx>0或Δx 0时,有 当Δx < 0时, 有
而(x)在(anb)内可导,则f()存在 且f(2)存在台f(5)=f()=f( 则对式(1)和式(2)取极限有 f(5)=f(5)=加inJ(+△x)-f(5) <0 A→0 △ f()=f3)=m(s+△x)-f(5) ≥0 △x→0 故必有∫(5)=0
7 而ƒ(x)在(a, b)内可导, 则 f ( ) . 存在 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f f f x + + → + − = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f f f x − − → + − = = 故必有 f ( ) 0. = 则对式(1)和式(2)取极限有 ( ) ( ) ( ) ( ). f f f f + − 且 存在 = =
注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可否 则结论不一定成立(一般地说结论正确就需证明否则, 只须举反例即可用下列各图形分别说明: y=f(r) 5‘b f(a)≠f(b)f在/,的内f(x在(b内有 有间断点 不可导点(尖点) 注2罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的如
8 注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件, 缺一不可.否 则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则, 只须举反例即可)用下列各图形分别说明: o y x a b y=f(x) o y a b x y=f(x) o y a b x y=f(x) ° ° ξ ξ f a f b ( ) ( ) ƒ(x)在[a, b]内 有间断点ξ ƒ(x)在(a, b)内有 不可导点ξ (尖点) 注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如
3 sinx0≤x≤-兀 f∫(x) 3—4y cosx-兀<X-元 y=f(x) 此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均 不满足,但是却存在5=4和ξ=兀,使 ∫(x)=f(x)=0
9 3 sin 0 4 ( ) 3 5 cos 4 4 x x f x x x = 2 此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均 不满足, 但是却存在 和 ξ = π, 使 o x y=f(x) y ° • π 2 = ( ) ( ) 0. 2 f f = =
注3罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在 一个,而不能肯定ξ的个数,也没有指出实际计算 的值的方法.但对某些简单情形,可从方程中解出 例1.验证函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2 上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的ξ值
10 例1. 验证函数 在区间[–1, 2] 上满足罗尔定理的条件, 并求出满足此结论中的 ξ 值. 3 2 f x x x x ( ) 4 7 10 = + − − 注3.罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在 一个ξ , 而不能肯定 ξ 的个数, 也没有指出实际计算 ξ 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出 ξ
