目录 第二章单变量函数的微分学 §1.显函数的导函数 §2.反函数的导函数用参变数表示的函数的导函数 隐函数的导函数 §3.导函数的几何意义……………………………………123 §4.函数的微分 s…143 §5.高阶的导函数和微分……………………158 §6.洛尔、拉恪朗日及哥西定理…………228 §7.函数的增大与减小.不等式…………………260 8.凹凸性拐点………………………………………290 9.未定形的求值法………………………………………307 810.台劳公式 336 §11.函数的极值函数的最大值和最小值 363 §12.依据函数的特征点作函数图形……………………………401 §13.函数的极大值与极小值问题………………………500 §14.曲线的相切,曲率圆,渐屈线……………………………525 §15.方程的近似解法…………………………………51
第…章单变量函数的微分学 §1.显函数的导函数 1°导函数的定义若x及xx+△x为自变量的值,则差 f(x+Ar)-f(e 称为函数y=f(x)的增量 (1) 有意义,则称为导函数,而函数f(r)本身在此情形下称为叮微分的函 数 函数∫(x)在儿何上是函数 f(x)的图形在r点切浅的斜率:ga= (x))(图2.1) 2求导函数的基本法则若为 常数且函数t=u(x),:v(x),te v(x)都有导函数,则 f(Iy (1)c=0;(2)(t)'-cn'; (3)(4!vt)-w'+v′·t'; (4)(uz)-'v+v (5) 'v--t (U≠0) 图2.1 (6)(")÷:nana(n为常数); (7)荇函数yf(n)及a-yx)都有导函数,则
3°基本公式若x为自变数…),则 t.(x")=nx”t(n为常数); (sinr)'= cos; 夏.(osx)=sinx; Ⅳ,(tgx) v(ctg)= cos SIn .T Ⅴ.( arc sini) Ⅵ.( arc cos.) Ⅷ(area/7+x3 Ⅸ,〔 arc ctgr) X.(a2)=a1na(a>0);(e)=e; X.ogx)=zha(a>0且“≠1); Ⅺ.(shx)'chx X夏.(chx)′=ghx; X N. (thr)' h'x XV.(cthx)’ k 4°单侧的导函数表示式 f(x)=lim f(r+Ar)-f(x) 及 f (r)= lim f(x+△x)-f(x) -*0 △z 分别称为函数f(x)在x点的左导函数或右导函数 导函数尸(x)存在的充分且必要的条件是 )在本章基本公式及圢题解答的叙述过程中,一些吲显的定义域费求、例如 本节公式Ⅴ中要求x≠k(k整数)中要求|x!<1等等.以及例如尔 后§5中相应的限制,一般地就不再一一声明
5°无穷的导数若在某点x有 him f( r+ Ar). f(x)ero) 3c v, 则称函数∫(x)在x点有无穷的导函数,在此种情形卜,函数y=f(x) 的图形上在x点的切线与Ox轴垂直 821.若x由1变到1000,求自变量x的增量Ax和函数y=lgx 的对应的增量Ay 解4x=1000—1=999; Ay =s Ig1000-1gl=3 822若x由0.01变到0.001,求自变量x的增量△r和函数y 的对应的增量A 解4x=0.001-0.01=--0.009; (0.001)2(0.01)2 990000 823.设 (a)y =a.I+6;(6)y =ar2+ br +c;(B)y=a. 若变量x得到增量Δx,求增量Δy 解(a)Ay=〔(ax+ax)+b-(ax+b=a4x; ()△y=[a(x+△x)2+b(x+4x)+c〕 〔ax2+bx+c (2ax+b)4x+a(△x)2; BAy=a 824.证明;
(a):f(x)+g(x)=△f(x)+△g(x); (5)△[f(x)g(x)] g(x+ Ar)Af(x)+f(x)4g(r). 证(a)Lf(x)+g(x)〕 〔f(x+4x)+g(x+△x)-〔f(x)+g(x) 了f(x+Ax)-f(x)+〔g(x+△x)-g(x)〕 △f(x)+△g(x), 于是 △〔f(x)+g(x)]=f(x)+Ag(x); (6)AC(x)g(x) f(x Arg(r+ Ar))-(/(x)g(r) - [fCr+ Ar)-f(x))g(x+Ar +「g(x+Ax)-g(x)∫(x) A(x)g(x+△x)+△g(x)/(x) 于是 △〔f(x)g(x) g(r+ Ar)Af(x)+ for)Ag(x) 同样,我们还可将()的结果写成 Arf(x)g(x)]=f(x+x)△g(x)+g(x)△f(x) 825过曲线y=x2的二点A(2,4)和A(2+△x,4+△y) 引割线AA',求此割线的斜率,设:
(a)4x=};()Ax=0.1;(B)4t=0.01; (r)△x为任意小 在已知曲线上A1点的切线的斜率等于甚么? 解割线AA的斜率是n (2+Ax)2…-4 4+Ax, (a)kat 5 (6)k444.1; (B)hAA=4.01; (r)ka 4+4x 于是,在A点的切线斜率为 ka =: lin kd=lim(4+ 4r)=4. AT-0 826.把Ox轴上的线段1≤x≤1+h利用函数关系y=x3 映变到Oy轴上求其平均的伸长系数,设: (a)h=0.1;(6)h=0.01;(B)h=0.001,计算此系数的 值 当x1时伸长的系数等于甚么? 解平均伸长系数Z=(1+b)3-13 h 3+3+h2, (a)l=3+3(0.1)+(D.1)2=3.31; 6)=3+3(0.01)+(0.01)23.0301; (b)=3+3(0.001)+(0.001)2=3.003001 于是, 827.动点沿Qc轴运动的规律由下式表出
x=10t+5t2 式中t以秒计的时间,r为以米计的距离求在20≤t≤ 20+4时间内运动的平均速度设:(a)△=1;(6)A= 0.1;(B)r=0.01,计算此速度的值.当!=20时运动的 速度等于甚么? 解平均速度v={10(20+x)+5(20÷4)2〕 〔10×20+5×202}÷Mt 210+54(米/秒) (a)v=210+5×1=215(米/秒); ()v=210.5(米/秒); (B)U=210.05(米/秒) 于是, v1l-20=lim(210+5a)=210(米/秒). 828根据导函数的定义,直接求下列函数的导函数: a)x2;(6)x2;(B)1;(r)√x;(x)y (e)tg ,(k)ctg;(aarc sin x;(u)arc cosx; (k)arc tgr. 解 Ra)y=r (x+4x)2-x2 于是 6
e. li △y lim(2r+ Ar)=2x (x+4x) 3x2+3x1x+(4x)2, 于是, Ar· lim〔3x2+3x△x+(4x)2)=3x2. x+0 Ar (4x+x) 于是 lim 4x-=lim( I)y △ x+△x+x 于是
2 y vr+ y(x+△x)2+yx(x+△x)+√x 于是 y=: lil ↓→ arm y(r+Ar )a+ vr(r+4x+v22 (x≠0). (e)y = tg. c 4y 【(x+4x)-【gx gr+tg Ax tgx 1- tgrtg4r tgAr(i+tgx) ↓x(1- tgxtgAc) tg (1- tg.rtg△x) 于是, li 3r·(1 : lim tgArsec △△x(1- tg.tg△x
(x+A △x arc silt 2x+4x x△ 式中t=(x+4x)1x2-x√1-(x+ax)2, 从而lmt=0. x→0 于是 im Az·0 tm 0 (x+Ax)√i-x2+x√1-(x+ax)2 li arc sint 其中m arc sint 1; sEnz (u)y arc cos.r, Ay arc cos(x Ar)-arc cosx arc sin((x√-(x+A)2-(x+4x)√1=x2 A arc sint (2x+2Ax) (x+4r)√1x2+x√1-(x+x) 式中t=(x+r)1-x2-x√1-(x+△x)2 10