数值计算方法 主讲刘玲 南京大学计算机科学与技术系
数值计算方法 主讲 刘玲 南京大学计算机科学与技术系
第1章绪论 随着科学技术的飞速发展,科学计算愈 来愈显示出其重要性。科学计算的应用 之广已遍及各行各业,例如:气象资料 的分析图像,飞机、汽车及轮船的外形 设计,高科技研究等都离不开科学计算。 因此,作为科学计算的数学工具数值计 算方法已成为各高等院校数学、物理和 计算机应用专业等理工科本科生的专业 基础课,也是工科硕士研究生的学位必修 课
第1章 绪论 ◼ 随着科学技术的飞速发展，科学计算愈 来愈显示出其重要性。科学计算的应用 之广已遍及各行各业，例如：气象资料 的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形 设计，高科技研究等都离不开科学计算。 因此，作为科学计算的数学工具数值计 算方法已成为各高等院校数学、物理和 计算机应用专业等理工科本科生的专业 基础课,也是工科硕士研究生的学位必修 课
■数值分析或数值计算方法主要是研究如 何运用计算机去获得数学问题的数值解 的理论和方法对那些在经典数学中,用解 析方法在理论上已作出解的存在但要求 出他的解析解又十分困难,甚至是不可能 的这类数学问题,数值解法就显得不可缺 ,同时有十分有效
◼ 数值分析或数值计算方法主要是研究如 何运用计算机去获得数学问题的数值解 的理论和方法.对那些在经典数学中,用解 析方法在理论上已作出解的存在,但要求 出他的解析解又十分困难,甚至是不可能 的这类数学问题,数值解法就显得不可缺 少,同时有十分有效
■计算机解决科学计算问题时经历的几个 过程 ■实际问题——)〉数学模型——〉数值计算方 法——〉程序设计——〉上机运行求出解 ■实际问题——)〉数学模型:由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程, 是应用数学的任务
◼ 计算机解决科学计算问题时经历的几个 过程 ◼ 实际问题——〉数学模型——〉数值计算方 法——〉程序设计——〉上机运行求出解 ◼ 实际问题——〉数学模型：由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程， 是应用数学的任务
■数值计算方法——〉程序设计—〉计算结 果:根据数学模型提出求解的数值计算方法, 直到编出程序上机算出解,是计算数学的任 务 ■数值计算方法重点研究:求解的数值方 法及与此有关的理论 ■包括:方法的收敛性,稳定性,误差分析, 计算时间的最小(也就是计算费用),占用 内存空间少
◼ 数值计算方法——〉程序设计——〉计算结 果：根据数学模型提出求解的数值计算方法， 直到编出程序上机算出解，是计算数学的任 务。 ◼ 数值计算方法重点研究：求解的数值方 法及与此有关的理论 ◼ 包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析， 计算时间的最小（也就是计算费用）,占用 内存空间少
■有的方法在理论上虽不够严格,但通过 实际计算,对比分析等手段,被证明是 行之有效的方法,也可以采用。因此, 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密 科学性的特点,又有应用的广泛性与实 验的高度技术性特点,是一门与使用计 算机密切结合的实用性很强的数学课程
◼ 有的方法在理论上虽不够严格，但通过 实际计算，对比分析等手段，被证明是 行之有效的方法，也可以采用。因此， 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密 科学性的特点，又有应用的广泛性与实 验的高度技术性特点，是一门与使用计 算机密切结合的实用性很强的数学课程
1.1数学问题的数值解法例示 ■例1.1.1试求函数方程x=cosx在区间(0,a)内的 一个根 解令f(x)=x-cosx,易知f(x)在[0,上是连续函数,且 f(0)f(x)=(-1)*0,x∈( 知上述零点唯一
1.1数学问题的数值解法例示 ◼ 例1..1.1试求函数方程x=cosx在区间 内的 一个根。 解 ) 2 (0, . ) 2 ( ) 1 sin 0, (0, ) . 2 , ( ) 0 (0, 0 2 ) ( 1) * 2 (0) ( ] , 2 ( ) cos , ( ) [0, 知上述零点唯一 又由 由零点定理知 方程 在 内至少有一个零点 令 易知 在 上是连续函数 且 = + = = − = − f x x x f x f f f x x x f x
1.1数学问题的数值解法例示 本题用解析法求解较为困难若用图解 法,可大致判定此零点位置作图像 y=x y=cos x 取两曲线交点p的横坐标x为所求方程的解,从图中可以 看出x大致位于附近 y4
1.1数学问题的数值解法例示 . 4 ., cos , . . * * * 看出 大致位于 附近 取两曲线交点 的横坐标 为所求方程的解 从图中可以 法 可大致判定此零点位置作图像 本题用解析法求解较为困难若用图解 x p x y x y x = =
例1.1.2计算定积分 (1I1= 01+r2 dx (2 te xdx 解:(1)由牛顿一莱布尼兹公式 1=4 arctan x= 4 arctan 1-4 arctan=IT 数值方法有多种,如选择n=2,h=,被积函数 f(x)= 1的复化 Simpson公式有
的复化 公式有 数值方法有多种，如选择 被积函数 解：（）由牛顿 —莱布尼兹公式 （） 例 计算定积分 Simpson x f x n h I x dx I e dx x x 2 1 1 0 1 0 1 0 1 2 2 1 4 ( ) , 2 1 2, 4arctan | 4arctan1 4arctan 0 1 (2) 1 4 1 I 1.1.2. 2 + = = = = = − = = + = −
1≈=[f(0)+4f()+2f()+4f()+f(1) 3.141568627 (2)l2=e"ax于f(x)=e无原函数,因此, 由 Newton- Leibniz公式无法求解,仅可用数值方 法求解。仍选择n=2,h=,的复化 L Simpson公式进 行数值求解有2≈0.746855379
行数值求解有 。 法求解。仍选择 的复化 公式进 由 公式无法求解，仅可用数值方 （ ） 由于 无原函数，因此， 0.746855379 , 2 1 2, Newton Leibniz 2 e , ( ) e 3.141568627 ) (1)] 4 3 ) 4 ( 2 1 ) 2 ( 4 1 [ (0) 4 ( 6 2 1 0 2 1 2 2 = = − − = = = + + + + I n h simpson x I dx f x f f f f f h I -x