第5章数值积分
第5章 数值积分
引言 在数学分析中,我们学习过微积分基 本定理 Newton- Leibniz公式: f(rdx=F(xb=F(b)-F(a (50.1) 箕中,F(x)是被积函数f(x)的原函数。 随着学习的不断深化,发现 Newton Leibniz公式有很大的局限性
引言 在数学分析中，我们学习过微积分基 本定理 Newton-Leibniz 公式： (5.0.1) 其中， F x( )是被积函数 f x( )的原函数。 随着学习的不断深化，发现 NewtonLeibniz 公式有很大的局限性。 = = − b a b f (x)dx F(x) a F(b) F(a)
引言 首先,遇到的是一类被积函数f(x)没有初 等函数有限形式的原函数,如 椭圆周长L=412V1-a2sind 正态分布函数edx等
引言 首先，遇到的是一类被积函数 f x( ) 没有初 等函数有限形式的原函数，如 e dx 等。 L a d x − = − 1 0 2 0 2 2 4 1 sin 正态分布函数 椭圆周长 ；
引言 其次,被积函数f(x)由表格形式给出,没有解析形式,也无 法使用 Newton- Leibniz公式 第三,常常f(x)本身形式并不复杂,而原函数F(x)推 导十分冗长,且表达式复杂,给计算结果带来十分不便
引言 其次，被积函数 f x( )由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式； 第三，常常 f x( )本身形式并不复杂，而原函数 F x( )推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便
引言 为克服上述许多缺点,定积分计算的数值求解能弥 补上述不足,并可带来满意的结果。 积分数值算法的思想是,首先求被积函数(x)的一个逼近函数 p(x),即(x)=p(x)+r(x),这里r(x)为误差函数,于是
引言 为克服上述许多缺点，定积分计算的数值求解能弥 补上述不足，并可带来满意的结果。 积分数值算法的思想是，首先求被积函数 f x( )的一个逼近函数 p x( )，即 f x p x r x ( )= + ( ) ( )，这里r x( )为误差函数，于是
引言 ■由定积分定义 b f(rdx= lim ∑ f(9)△x △x->O (1)分割a=x0<x1<…<xn=;b (2)近似△;=f()△x1△x1=x1-x1-1 (3)求和Sn=∑A=∑f(41)x i=0 i=0
引言 ◼ 由定积分定义 i n i i n i n i i i i i i n i b a i n i i x S s f x s f x x x x a x x x b f x dx f x = = − = → = = = = − = = = 0 0 1 0 1 0 0 (3) ( ) (2) ( ) (1) ... ( ) lim ( ) 求和 近似 分割
引言 (4)求极限Ax=max{Ax} 10 由此想到机械求积公式 ∫(x)dk=4/(x)+4f(x)+…A,(x,)+门 =∑4f(x)+R 其中A权系数,∑4f(x)是f(x)加权和, 也是[f(x)d的近似值
引言 = = = = → → b a n i i i x n x i i n S f x f x dx x x lim lim ( ) ( ) (4) max{ } 0 0 0 1 求极限 也是 的近似值。 其中 权系数， 是 加权和， 由此想到机械求积公式 = = = + = + + + b a i n i i i i n i i i n n b a f x dx A A f x f x A f x R f f x dx A f x A f x A f x R f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ... ( ) [ ] 0 0 0 0 1 1
5.1 Newton-Cotes求积公式 511 Cotes系数 首先,我们考察一种简单情况。设y=f(x)用节点(a,f(a),(b,(f(b) 的一次插值多项式代替,即 f(=L(x)+r(r) (5.1.1) x x-a f(a f(b)+ if(r(x-ax-b)xe(a, 6)
5.1 Newton-Cotes求积公式 5.1.1 Cotes 系数 首先，我们考察一种简单情况。设 y f x = ( ) 用节点( , ( )),( ,( ( )) a f a b f b 的一次插值多项式代替，即 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x L x r x = + (5.1.1) ( ) ( ) ( )( )( ) 1 " 2 x b x a f a f b f x a x b a b a b x - - = + + - - - - x(a,b)
所以 b X-a f(x)dx=[i f(a)+ f(blox b of(sex-a(x-b)dx b-a ff(a)+f(b+Rlf 其中 (b-a)3 Rlf]= f(5)5∈(an,b) 12
( ) ( , ) 12 [ ] [ ( ) ( )] [ ] 2 ( )( )( ) 2 1 ( ) [ ( ) ( )] '' 3 '' f a b b a R f f a f b R f b a f x a x b dx f b dx b a x a f a a b x b f x dx T T b a b a b a − = − + + − = + − − − − + − − = （ ） 其中 所以
由 Lagrange插值,任何一的函数y=f(x)嘟都 可以近似的表示成 f(x)=l(x)+r,(x) 其中 L(x)=∑/(x)y是(x)的 Lagrange插值多项式
◼ 由Lagrange插值,任何一的函数 都 可以近似的表示成 其中 y = f (x) f (x) L (x) R (x) = n + n L x l x y 是f x 的Lagrage插值多项式。 n j n j j ( ) ( ) ( ) 0 = =