2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (A题、B题) A题、B题任选一题 答卷用白色A4纸,第一页为空白页(用于赛区或全国组委会对论文进行编号)。 ●论文题目和摘要写在第二页上,从第三页开始是论文正文。 论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志 提请大家注意:从去年起,提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。 全部题目可以从以下网址之一下载 httpmcm.edu.cnhttp://www.hep.edu.cnhttp:/mcm.diy163.com A题车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口 半径36毫米,深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置 定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏与 FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A 点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=26米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为 1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。 请解决下列问题 (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。 (2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 (3)讨论该设计规范的合理性 第1页,共3页
第1页，共3页 2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （A 题、B 题） ⚫ A 题、B 题任选一题。 ⚫ 答卷用白色 A4 纸，第一页为空白页（用于赛区或全国组委会对论文进行编号）。 ⚫ 论文题目和摘要写在第二页上，从第三页开始是论文正文。 ⚫ 论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ⚫ 提请大家注意：从去年起，提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。 ⚫ 全部题目可以从以下网址之一下载： http://mcm.edu.cn http://www.hep.edu.cn http://mcm.diy.163.com A 题 车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口 半径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置 一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏，屏与 FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点，使 AC=2AB=2.6 米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值（可取为 1 个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。 请解决下列问题： （1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 （3）讨论该设计规范的合理性
B题彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列, 目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组0~9号球中摇出6个基本号码,每组摇出 个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从0-9十个号码中任选6 个基本号码(可重复),从04中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符 的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“ abcdef-+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示 未选中的号码) 奖 10选6+1(6+1/10) 等奖 abcdef 选7中(6+1) 等奖| abcdef 选7中(6) 等奖| abcdex Xbcdef 选7中(5) abcdXX Xbcdex XXcdef 7中(4) 五等奖 abcxxx XbcdXx XXcdex xxXdef 选7中(3) 六等奖 abxxXx XbcXXX XXcdXx xXXdex XXXXef 选7中(2) 乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从01~33个号码球中一个 个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码 中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖 等级,不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6 个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成 注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码 顺序。这两种方案的中奖等级如表 级「基本号码特别号码说明 基本号码特别号码说明 ●●●●6● 选7中(7)●●●●● 选7中(6+1) 等奖 ●●●●O 选7中(6+1)●●●●● 选7中(6) .eeO 选7中(6)。●o●o 选7中(5+1) 四等奖●●●●●oo★选7中(5+1)●●●●●O 选7中(5) 五等奖●。●。●OO 选7中(5)|。●●●Oo 选7中(4+1) [六等奖●●●。OO 选7中(4+1)。●oOo 选7中(4) 等奖●●●。OOo 选7中(4)●●●O★选7中(3+1) 注:·为选中的基本号码;★为选中的特别号码;。为未选中的号码。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已 得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表 其中 等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一 等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为: [(当期销售总额×总奖金比例)一低项奖总额]×单项奖比例 1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置 以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 (2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。 (3)给报纸写一篇短文,供彩民参考
第2页，共3页 B 题 彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列， 目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码，每组摇出 一个，然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码（可重复），从 0~4 中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符 的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表示 未选中的号码）。 表一 中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef g 选 7 中（6+1） 二等奖 abcdef 选 7 中（6） 三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7 中（5） 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7 中（4） 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3） 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2） “乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码球中一个一 个地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 01~33 个号码 中任选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖 等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1”的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号，再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个组成一 注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码 顺序。这两种方案的中奖等级如表二。 表二 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单注若已 得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三， 其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一 等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置 以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 中 奖 等 级 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36） 基 本 号 码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 ●●●●●●● 选 7 中（7） ●●●●●● ★ 选 7 中（6+1） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7 中（6+1） ●●●●●● 选 7 中（6） 三等奖 ●●●●●●○ 选 7 中（6） ●●●●●○ ★ 选 7 中（5+1） 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7 中（5+1） ●●●●●○ 选 7 中（5） 五等奖 ●●●●●○○ 选 7 中（5） ●●●●○○ ★ 选 7 中（4+1） 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选 7 中（4+1） ●●●●○○ 选 7 中（4） 七等奖 ●●●●○○○ 选 7 中（4） ●●●○○○ ★ 选 7 中（3+1）
表三 序号 奖|一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖备注 比例比例比例金额金额金额金额 6+1/10 50% 30% 50 2|6+1/1060 300 2 6+1/1065% 20% 按 6+1/1070%1 15% 7/29 60% 66+1/29|60% 15% 200 7/30 65% 15% 20% 500 7/30 5000 107/31 25% 500 11 7/31 75% 10% 320 127/32 65% 15% 500 10 500 7/32 15% 00606 17 7/34 65% 15% 500 7/3 68% 12% 500 10 7/35 15% 300 207/35 20% 15% 7/35 80% 200 7/35 100%2000 无特别 246+1/3675% 15% 500 100 256+1/3680% 0000 7/37|70% 1500100 6/40 200 10 5/60 300 30
第3页，共3页 表三 序号 奖 项 方案 一等奖 比 例 二等奖 比 例 三等奖 比 例 四等奖 金 额 五等奖 金 额 六等奖 金 额 七等奖 金 额 备 注 1 6+1/10 50% 20% 30% 50 按序 2 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5 按序 3 6+1/10 65% 15% 20% 300 20 5 按序 4 6+1/10 70% 15% 15% 300 20 5 按序 5 7/29 60% 20% 20% 300 30 5 6 6+1/29 60% 25% 15% 200 20 5 7 7/30 65% 15% 20% 500 50 15 5 8 7/30 70% 10% 20% 200 50 10 5 9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 5 10 7/31 60% 15% 25% 500 50 20 10 11 7/31 75% 10% 15% 320 30 5 12 7/32 65% 15% 20% 500 50 10 13 7/32 70% 10% 20% 500 50 10 14 7/32 75% 10% 15% 500 50 10 15 7/33 70% 10% 20% 600 60 6 16 7/33 75% 10% 15% 500 50 10 5 17 7/34 65% 15% 20% 500 30 6 18 7/34 68% 12% 20% 500 50 10 2 19 7/35 70% 15% 15% 300 50 5 20 7/35 70% 10% 20% 500 100 30 5 21 7/35 75% 10% 15% 1000 100 50 5 22 7/35 80% 10% 10% 200 50 20 5 23 7/35 100% 2000 20 4 2 无特别号 24 6+1/36 75% 10% 15% 500 100 10 5 25 6+1/36 80% 10% 10% 500 100 10 26 7/36 70% 10% 20% 500 50 10 5 27 7/37 70% 15% 15% 1500 100 50 28 6/40 82% 10% 8% 200 10 1 29 5/60 60% 20% 20% 300 30