王第二章随机变量及其分布 §1随机变量的概念与离散型随机变量 c§1随机变量的概念 为了全面地研究随机试验的结果揭示客观存在 着的统计规律性我们将随机试验的结果与实数 对应起来将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念 上或
第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量的概念与离散型随机变量 §1.1 随机变量的概念 • 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在 着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数 对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念
王在许多带有随机因素的实际间题中我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等此外人们还发现建立数和人或其他事物 王的对应关系会带来许多便利比如每一个学生可以 王用一个学号与之对应城市的每一间房屋可以用一 庄个门牌号与之对应工厂生产的同一种型号产品比 庄如计算机可以用一个代码与之对应同样建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 些数学方法对随机现象作进一步的研究 上或
在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物 的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以 用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比 如计算机,可以用一个代码与之对应.同 样,建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 一些数学方法对随机现象作进一步的研究
王 中定义设随机试验E的样本空间9={o如果对任意 中的基本事件O∈9,有一个实数X=X()与之对应,就 王称x为随机变量 通常我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件.一般对于任意的实数集合L,{X∈L表示 事件(eX(e)∈L} 上或
定义:设随机试验 E 的样本空间 = {} ,如果对任意 的基本事件 ,有一个实数 X = X () 与之对应,就 称 X 为随机变量. • 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件.一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示 事件{e|X(e)∈L}. 通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量
上例:设10件产品中有8件合格品和2件不合格品 c从中随机抽取一件令 X={.取到合格品 取到不合格品 王则X是一个随机变量,它只取两个可能值0和1 如果我们把产品编号,1到8号为合格品,9到10号为 不合格品样本空间可表示为9=0…n,其中表 示取到第i号产品这时基本事件与随机变量的对应 关系为 =1.…8 X(O1)= 0.i=9.10 上或
例：设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品, 从中随机抽取一件,令 = ，取到不合格品 ， 取到合格品 0 1 X 则 X 是一个随机变量，它只取两个可能值 0 和 1. 如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为 不合格品,样本空间可表示为 { , , } = 1 10 ,其中 i 表 示取到第i 号产品.这时基本事件与随机变量的对应 关系为 = = = 0, 9,10 1, 1, ,8 ( ) i i X i
例:考察一个医院每天的就诊人数X则是一个随 机变量它的取值范围是X=012 例:观察公交车站上乘客的等车时间xx是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间 例:记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 王x,则x也是一个随机变量,它的取值范围也是一 个区间 上或
例：考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随 机变量,它的取值范围是 X = 0,1,2, . 例：观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间. 例：记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 X，则 X 也是一个随机变量，它的取值范围也是一 个区间
王§12离散型随机变量 定义:如果随机变量ⅹ所有可能取的值只有有限 个或可列无限多个(即可以和自然数集 N=1.2…m…中的元素1-1对应,则称X为离散 随机变量 设离散型随机变量ⅹ所有可能取的值为 x1,x2…X取值为xk的概率为 P(X=XK)=Pr.k= 王称为离散型随机变量的概率分布或分有律 上或
§1.2 离散型随机变量 定义：如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限 个或可列无限多个 ( 即可以和自然数集 N = {1,2, ,n, }中的元素 1-1 对应),则称 X 为离散 型随机变量. 设 离 散 型 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 的 值 为 x1 , x2 , ,X 取值为 k x 的概率为 k pk P(X = x ) = , k = 1,2, . 称为离散型随机变量X的概率分布或分布律
分布律还可以简单地表示为: X X1X2 X k P pi p2 pk 分布律具有以下性质: 1.pk≥0,k=1,2, 2.∑Pk=1 k=1 上或
分布律还可以简单地表示为： 分布律具有以下性质: 1. pk 0, k =1，2， 2. 1 1 = k= pk X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk …
王 王例实验室共有4台同类仪器其中有5台仪器不能 正常工作某班实验课随机取其中的34台做实验求 A取到的不能正常工作的仪器台数X的分布律 解X的分布律为 k 34-k 庄Px=k)= C 35 34 k=0,1,…,5 40 上或
例:实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能 正常工作.某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求 取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律. 解 X 的分布律为: ( ) 0 1 5 3 4 4 0 3 4 = = 5 3 5 ， = ，，， − k C C C P X k k k
例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每 个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的)求X的分布律 解以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率易知X的分 布律为 2 3 4 王P|p(ppap)p(py ·或写成PXk=(1)pk=12,P{x-4}=(1p ·以P2代入得 X01 2 4 P0502501250062500625 上或
X 0 1 2 3 4 P p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 X 0 1 2 3 4 P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每 个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的),求X的分布律. 解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分 布律为 • 或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4 . • 以p=1/2代入得
例:设随机变量Ⅹ具有分布律 P(X=k)=ak,k=1,2,3,4,5 (1)确定常数a,(2)计算2<x32和P(sXs2) 解(1)由分布律的性质得 ∑P(X=k)=∑ n=a5×6=1从而 a= k=1 k=1 2 15 上(2)m2<x<2=P(x=)+P(x=2)=15+153 121 P(sXs2)=P(X=1)+P(X=2)=15+155 上
例: 设随机变量 X 具有分布律 P ( X = k ) = ak, k = 1,2,3,4,5 （1）确定常数a ,（2）计算 ) 25 21 P( X 和P(1 X 2). 解（1）由分布律的性质,得1 2 5 6 ( ) 51 51 = = = = = = P X k ak a k k 151 a = . (2) ) 25 21 P ( X P ( 1 X 2 ) 从而 = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) 51 152 151 = + = 51 152 151 = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) = + =