第五章插值法 经测量或实验得到某一函数y=(x)在一系列点 0,x1,…,xn处的值J,y,’yn·即已知数据点: 希望找到易于计算的函数P(x)≈f(x),且满足 P(x)=y;,i=0 这类问题称为插值问题
第五章 插值法 经测量或实验得到某一函数y=f(x)在一系列点 x x x 0 1 , , , n 处的值 y y y 0 1 , , , . n 即已知数据点： 0 1 0 1 n n x x x y y y 希望找到易于计算的函数 且满足 这类问题称为插值问题。 ( ) , , , , 0 1 P x y i n i i = =P x f x ( ) ( ),
几何解释 y y=f(r) y n)。n y=P(r) (x,广 插值函数 X 0,x;…,xn—(插值)节点 0 ,x——插值区间 P(x)=y,i=0,l, 插值条件 插值函数就是通过n+1个给定点(x,y)的几何曲线
——插值函数 ( ) , , , , 0 1 P x y i n i i = = O x y y f x = ( ) y P x = ( ) 1 1 ( , ) x y ( , ) n n x y 0 0 ( , ) x y 几何解释 ——（插值）节点 ——插值条件 插值函数就是通过n+1个给定点( , ) x y i i 的几何曲线。 0 [ , ] n x x ——插值区间 0 1 , , , n x x x
插值函数可以是多项式、有理分式、三角函数、指 数 函数等。本章只讨论多项式插值,即 对于给定的插值节点,如果选用多项式作为插值函数 进行插值,即构造n次多项式 P(x)=a+ax+…+anx", 使满足插值条件 P(x;)=y,i=0, 这类问题称为多项式插值问题
对于给定的插值节点，如果选用多项式作为插值函数 进行插值，即构造n次多项式 使满足插值条件 这类问题称为多项式插值问题。 ( ) , , , , 0 1 P x y i n i i = = 0 1 ( ) , n P x a a x a x = + + + n 插值函数可以是多项式、有理分式、三角函数、指 数 函数等。本章只讨论多项式插值，即
§1不等距节点下的牛顿基本差商公式 1、差商 定义已知定点(x1,y1)(i=0,…,m,y1=∫(x;) 称fxl=f(x)为f(x)在x1点的零阶差商 称∫[x,x1= fIxl-flxiI f(xi)-f(i) 为∫(x)在[x,x;上的一阶差商,例如 f∫(x1)-∫(x0) fx,,,x
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式 1、差商 已知定点 ( , )( , , , ), ( ). 0 1 i i i i x y i n y f x = = 称 [ ] ( ) i i f x f x = 称 [ ] [ ] [ , ] ( ) ( ) j i i j j j i i j i f x f x f x x f x x x f x x x − = = − − − 为 f x x ( ) 在 i 点的零阶差商； 为 f x x x ( ) [ , ] 在 i j 上的一阶差商，例如 1 0 2 1 1 0 2 0 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x f [ ] , ] [ , , ; f x f x f x f x x x x x x x − − = = − − 定义
flx 称x1,x,xk jk I-fIxi,x; k 为f(x)在[x,x,xk上的二阶差商,例如 ∫x,x2-∫x 9~19 fx,,x,,x fx2,x3 -flx
称 [ , ] [ , ] [ , , ] j k i j i j k k i f x x f x x f x x x x x − = − 为 f x x x x ( ) [ , , ] 在 i j k 上的二阶差商，例如 1 2 0 1 2 0 1 2 0 [ , ] [ , ] [ , , ] , f x x f x x x f x x x x − = − 2 3 1 2 3 1 2 3 1 [ , ] [ , ] [ , , ] ; f x x f x x x f x x x x − = −
般地,称fx; i5i+1 +n flx 29i+n I-flr i5i+199in-1 +n 为f(x)在[x1,x+2,x】上的m阶差商
一般地，称 1 [ , , , ] i i i n f x x x + + 为 f x x x x ( ) [ , , ] 在 i i n i n + + 上的n阶差商。 1 2 1 1 [ , , , ] [ , , , ] i i i n i i i n i n i f x x x f x x x x x + + + + + − + − = −
列表计算差商 x/1x1/x,x几1x,x元,x1 i,i+1,i+2,i3 xo f(xo) x, f() |x0,x,x2 f(x 29 fIx,x2, x3 xa f(x)
列表计算差商 i x 0 x 1 x 2 x 3 x [ ]i f x0 f x( )1 f x( ) 2 f x( ) 3 f x( ) 1 [ , ] i i f x x + 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 1 2 3 [ , , , ] i i i i f x x x x + + + 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ]
例51列出f(x)=x3在节点x=0,2,356上的各阶差商值。 解:列表计算 x八xfx,x+1x,x1,x2三阶差商四阶差商 8-0 4 19-4 2-0 28 27-8 3-0 10-5 3-2 49-19 327 10 0 125-27 6-0 =49 5-2 14-10 5|125 5-3 216-125 =91 314/6- 91-49 62166
例5.1 列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。 i x 0 2 3 5 6 [ ]i f x0 8 27 125 216 1 [ , ] i i f x x + 8 0 4 2 0 − = − 27 8 19 3 2 − = − 125 27 49 5 3 − = − 216 125 91 6 5 − = − 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 19 4 5 3 0 − = − 49 19 10 5 2 − = − 91 49 14 6 3 − = − 10 5 1 5 0 − = − 14 10 1 6 2 − = − 1 1 0 6 0 − = − 三阶差商 四阶差商 解：列表计算
说明: ①差商是反映函数值的变化速度的量; ②差商具有对称性,即差商值同节点的排列次序无关。 fxo,x, ∫(x1)-∫(x)f(x0)-f(x) fIx,x fxo,x,,x2I ∫x1,x2]-∫ 09 f(ro) f(x1) f(x2) (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x1-x2)(x2-x0(x2-x1) fIx2,xi,xol=fxo,x2,x,I
说明： ① 差商是反映函数值的变化速度的量； ② 差商具有对称性，即差商值同节点的排列次序无关。 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ( ) ( [ , ] [ , ] f x f x f x f x ) ( ) ( ) x x x x f x x f x x − − = = = − − 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 1 2 2 0 0 2 1 [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( [ , , ] ) f x x f x x x x f x f x f x x x x x x x x f x x x x x x x x − = − = + + − − − − − − 2 1 0 0 2 1 = = f x x x f x x x [ , , ] [ , , ]
说明: ③差商可以分解为下述形式: 09~199 ∑ f(x;) a(x1-x1)…( )(x2-x+)…(x2-xk) ∑k f(x;) J≠l ④m阶多项式的差商是一个常量
说明： ③ 差商可以分解为下述形式： 0 1 1 1 1 1 [ , , , ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) k k i i i i i i i i k f x x x f x = x x x x x x x x − + = − − − − 1 1 ( ) ; ( ) k i k i i j j j i f x x x = = = − ④ n阶多项式的差商是一个常量