第二章导数与微分 第一节导数的概念 问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结
第一节 导数的概念 第二章 导数与微分 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结
问题的提出 自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于t的时刻t运动时间△M,"△M 平均速度v △SS-S, 0=8(t1+t) ∧t食s 2 当t→t时,取极限得 瞬时速度v=im8(tn+ 0 2
一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 0 t t , 求t 0时刻的瞬时速度 t 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . = gt0
2切线问题割线的极限位置切线位置 50 40 20 1.251.51.7522.252.52.75 「播放
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
如图,如果割线MN绕点 y=f(r) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 C 极限位置即 xx MN→0,∠MMT→0.设M(x,y),N(x,y) 割线M的斜率为tanq yof(x)-f(xo) x-l 沿曲线CM,x→x 0 05 切线Mm的斜率为k=tano=lim f(x)-f(x0) x→x
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
二、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 x+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量Ay=f(x+△x)-f(x);如果4y与 △之比当Δx→0时的极限存在则称函数 y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x在点x处的导数,记为yx
二、导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在 点 的某个邻域内
或 df(x) d x=o d x r=r Ay=lim/(o+ Ax)-fxo x=X0△x+0△x △x→>0 其它形式f(xn)=limf(x+b)-f(xn) h→>0 f()=lim f(x)-f(x0)
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) x x0 x x0 dx df x dx dy = 或 = 即
关于导数的说明: ★点导数是因变量在点x处的变化率它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导,就称函数∫(x)在开区间I内可导
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明：
★对于任一x∈I,都对应着∫(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数∫(x)的导函数 记作y,f(x)或(x) d x 即y=lin f(x+△x)-f(x) △r→>0 △v 或∫'(x)=lim f∫(x+h)-f(x) 注意:1.f(x)=f(x)-x
. ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = = ★
2导函数(瞬时变化率是函数平均变化率的逼近 函数 -25 50 75
播放 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数
★单侧导数 左导数: ∫'(x)=im f(x)-fxo lim 5(xo+Ax)f(xo x→x0-0 Ar→-0 2右导数: ∫+(x0)=in f(x)-f(x0) lim f(x0+Δx)-f(x0) x→xa+0 △r→>+0 △r ★函数f(x)在点x处可导左导数f(x0)和右 导数f(x)都存在且相等
★ 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f − 和右 导数 ( ) x0 f + 都存在且相等. ★