河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）两向量的数量积、两向量的向量积、向量的混合积

四、两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖ s cos 8(其中6为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 定义向量n与b的数量积为a·b d·b=i‖bc0s6(其中为与b的夹角)

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 四、 两向量的数量积

d·b=lb|c0s6 I b cos0=Prjb, a cos e=Prjba ·b=b|Prjl=| a Prib 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 数量积也称为“点积”、“内积

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积

关于数量积的说明: (1)aa=a12 (2)l·b=0←→l⊥b 数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·l; (2)分配律:(a+b)·E=a·c+b·; (3)若九为数:(a)·b=a·(b)=孔(a·b) 若九、A数:(Aa)·(b)=u(a·b)

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、为数：( a) ( b) (a b).        =   关于数量积的说明： (1) | | . 2 a a a     = (2) a  b = 0    a b.   ⊥

数量积的坐标表达式 ix a=aita,j+ak, b=bi+b,j+b,k d·b=(axi+a1j+a2k)·(bi+b,j+b2k) 讠与k,∴·j=j·k=k·i=0, i闩j=k=1, .i·i=j·j=k·k=1. i·b=a、.b.+a.b.+a.b 数量积的坐标表达式

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式 数量积的坐标表达式

nb= ab cos→c0s0=a.b l‖b a.b. tab tab cos 6= 2 2 +a.+a b.-+b.+b 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 d⊥b∈→abx+a,bn+a2b2=0

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1已知a={1,1,-4},b={,2,2},求(1)lb; (2)a与b的夹角;(3)在b上的投影 解(1)ab=1·1+1(-2)+(-4)2=-9 a、b.+a.b.+a.b (2)cos 2 a.2+a.2+a.2b 2 2 tatb 3π 2 (3)a·b=b|Pril:Pri= bb 3

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求(1) a b    ； (2) a 与b  的夹角；(3) a  在b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ab      = . 4 3

例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)a垂直 证I(a·c)b-(b·cd (a·c)b·c-(b·c)d =(C·b)4·c-l·c =0 (a·c)b-(b·)d⊥c

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥

例3.设A=2l+3b,B=37-b,l=2,b=1 (a, b )=,*AB, Prj; B, PrjBA 解.A·B=(2d+3b)·(3-b) 6d2+7a·b-3b =28 4=A.A=37,B=B·B=31, A·B28 A·B28 Pr B= 37 B 31

, , Pr , Pr . 3 ( , ) 3. 2 3 , 3 , 2, 1 a b A B j B j A A a b B a b a b A B                   = = + = − = = 求 例 设 6 7 3 28 . (2 3 ) (3 ) 2 2 = +  − =  = +  − a a b b A B a b a b           解 . 31 28 , Pr 37 28 Pr 37, 31, 2 2 =  = =   = =  = =  = B A B j A A A B j B A A A B B B A B                 

例已知a=51+20,b=p-30=2√2 q=3,a-b=√593,求a+b 解:a+b=6p-q a+b=(a+b)+b)=(6p0)6p =36p·+@q-12pq=36+q2-12pq 36×8+9-12pq 又∵-b=4p+5 a-b2=(a-b)(a-b)=(4p+50)(4+0) =16·p+254·q+40D·q 16×8+25×9+40D·q=593→pf=6 则a a+b=15

3, 593, . 5 2 , 3 , 2 2, q a b a b a p q b p q p             = − = + = + = − = 求 例 已知 p p q q p q a b a b a b p q p q                 =  +  −   + = +  + = −  − 3 6 1 2 ( ) ( ) (6 ) (6 ) 2 p q p q     = 36 + − 12  2 2 a b p q     解  + = 6 − p p q q p q a b a b a b p q p q                 =  +  +   − = −  − = +  + 1 6 2 5 4 0 ( ) ( ) (4 5 ) (4 5 ) 2 a b p q     又 − = 4 + 5 = 593 p q   = 368 + 9 − 12  p q   = 168 + 259 + 40   p  q = 6   a + b = 15.   则

五、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 F对支点O的力矩是一向量M,它的模 M=00F L OP‖F|sin6 M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系

设O为一根杠杆L 的支点，有一力F  作用 于这杠杆上P 点处．力F  与OP 的夹角为 ， 力 F  对支点O的力矩是一向量M  ，它的模 | M | | OQ || F |   = | OP || F |sin  = M  的方向垂直于OP 与F  所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 五、 两向量的向量积 L F  P Q O 