四、两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖ s cos 8(其中6为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 定义向量n与b的数量积为a·b d·b=i‖bc0s6(其中为与b的夹角)
一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W | F || s | cos = (其中 为F 与s 的夹角) 启示 向量a 与b 的数量积为a b a b | a || b | cos = (其中 为a 与b 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 四、 两向量的数量积
d·b=lb|c0s6 I b cos0=Prjb, a cos e=Prjba ·b=b|Prjl=| a Prib 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 数量积也称为“点积”、“内积
a b a b | a || b | cos = | b | cos Pr j b, a = | a | cos Pr j a, b = a b b j ba =| | Pr | a | Pr j b. a = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模 和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积
关于数量积的说明: (1)aa=a12 (2)l·b=0←→l⊥b 数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·l; (2)分配律:(a+b)·E=a·c+b·; (3)若九为数:(a)·b=a·(b)=孔(a·b) 若九、A数:(Aa)·(b)=u(a·b)
数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a; = （2）分配律： (a b) c a c b c; + = + （3）若 为数： ( a) b a ( b) (a b), = = 若 、为数：( a) ( b) (a b). = 关于数量积的说明： (1) | | . 2 a a a = (2) a b = 0 a b. ⊥
数量积的坐标表达式 ix a=aita,j+ak, b=bi+b,j+b,k d·b=(axi+a1j+a2k)·(bi+b,j+b2k) 讠与k,∴·j=j·k=k·i=0, i闩j=k=1, .i·i=j·j=k·k=1. i·b=a、.b.+a.b.+a.b 数量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |= 1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式 数量积的坐标表达式
nb= ab cos→c0s0=a.b l‖b a.b. tab tab cos 6= 2 2 +a.+a b.-+b.+b 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 d⊥b∈→abx+a,bn+a2b2=0
a b | a || b | cos = , | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为
例1已知a={1,1,-4},b={,2,2},求(1)lb; (2)a与b的夹角;(3)在b上的投影 解(1)ab=1·1+1(-2)+(-4)2=-9 a、b.+a.b.+a.b (2)cos 2 a.2+a.2+a.2b 2 2 tatb 3π 2 (3)a·b=b|Pril:Pri= bb 3
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求(1) a b ； (2) a 与b 的夹角；(3) a 在b 上的投影. 解 a b (1) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ba (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ab = . 4 3
例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)a垂直 证I(a·c)b-(b·cd (a·c)b·c-(b·c)d =(C·b)4·c-l·c =0 (a·c)b-(b·)d⊥c
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) − ( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) − ( ) ]⊥
例3.设A=2l+3b,B=37-b,l=2,b=1 (a, b )=,*AB, Prj; B, PrjBA 解.A·B=(2d+3b)·(3-b) 6d2+7a·b-3b =28 4=A.A=37,B=B·B=31, A·B28 A·B28 Pr B= 37 B 31
, , Pr , Pr . 3 ( , ) 3. 2 3 , 3 , 2, 1 a b A B j B j A A a b B a b a b A B = = + = − = = 求 例 设 6 7 3 28 . (2 3 ) (3 ) 2 2 = + − = = + − a a b b A B a b a b 解 . 31 28 , Pr 37 28 Pr 37, 31, 2 2 = = = = = = = = B A B j A A A B j B A A A B B B A B
例已知a=51+20,b=p-30=2√2 q=3,a-b=√593,求a+b 解:a+b=6p-q a+b=(a+b)+b)=(6p0)6p =36p·+@q-12pq=36+q2-12pq 36×8+9-12pq 又∵-b=4p+5 a-b2=(a-b)(a-b)=(4p+50)(4+0) =16·p+254·q+40D·q 16×8+25×9+40D·q=593→pf=6 则a a+b=15
3, 593, . 5 2 , 3 , 2 2, q a b a b a p q b p q p = − = + = + = − = 求 例 已知 p p q q p q a b a b a b p q p q = + − + = + + = − − 3 6 1 2 ( ) ( ) (6 ) (6 ) 2 p q p q = 36 + − 12 2 2 a b p q 解 + = 6 − p p q q p q a b a b a b p q p q = + + − = − − = + + 1 6 2 5 4 0 ( ) ( ) (4 5 ) (4 5 ) 2 a b p q 又 − = 4 + 5 = 593 p q = 368 + 9 − 12 p q = 168 + 259 + 40 p q = 6 a + b = 15. 则
五、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 F对支点O的力矩是一向量M,它的模 M=00F L OP‖F|sin6 M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系
设O为一根杠杆L 的支点，有一力F 作用 于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ， 力 F 对支点O的力矩是一向量M ，它的模 | M | | OQ || F | = | OP || F |sin = M 的方向垂直于OP 与F 所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 五、 两向量的向量积 L F P Q O