3.1中值定理 定理31(罗尔(Role)中值定理) 如果函数y=f(x)满足条件 (1)在[a,b上连续, (2)在(a,b)内可导, (3)f(a)=f(b) 则至少存在一点ξ∈(a,b使/"()=0
3.1 中 值 定 理 定理3.1 (罗尔（Rolle）中值定理) 如果函数 y = f (x) 满足条件： ⑴ 在 [a，b] 上连续， ⑵ 在 (a,b) 内可导， ⑶ f (a) = f (b) 则至少存在一点 (a,b),使f '() = 0
证因为函数f(x)在区间[a,b上连续所以它在[a,b]上 必能取得最小值m和最大值M(闭区间上连续函数的最值 性).于是有两种可能情况: (1)若M=mn,则∫(x)=m,Vx∈{a,b,f(x)=0, x∈(a,b) (2)若M>m,由于f(a)=f(b),则数M与m中至少有一个 不等于端点的函数值f(q),设M≠f(a),则存在点E∈(a,b) 使得f()=M下证f"(2)=0
证 因为函数 在区间 上连续,所以它在 上 必能取得最小值 和最大值 （闭区间上连续函数的最值 性）.于是有两种可能情况： ⑴若 则 f (x) = m,x[a,b], f '(x) = 0, x(a,b). ⑵若 M ＞ m ,由于 f (a) = f (b) ,则数 与 中至少有一个 使得 .下证 ( ) = 0. f ( ) = M f ' 不等于端点的函数值 f (a) ，设 M f (a) ，则存在点 (a,b) f (x) M = m, [a,b] [a,b] m M M m
由于f()=M,所以f(x)-f(5)5时有 f(x)-f() 由于/()存在及极限的保号性可知 f(s)= lim f(x)-f(s x→ 当5 x 所以f"()=0
由于 f ( ) = M ，所以 f (x) − f ( ) ≤0， x (a,b). 当 x ＞ 时有 0 , ( ) ( ) − − x f x f 由于 f '( ) 存在及极限的保号性可知 = ≤0. f '( ) → + x lim − − x f (x) f ( ) 当 ＜ x 时有 ≥0， − − x f (x) f ( ) 于是 f '( ) = x lim → − ≥0， − − x f (x) f ( ) 所以 f '( ) =0
罗尔中值定理的几何意义: 如果连续光滑曲线在点A,B处的纵坐标相等,那么, 弧AB上至少有一点C,曲线在C点的切线为水平切线, 如图3-1. f(x) 图3-1
罗尔中值定理的几何意义： 如果连续光滑曲线在点 处的纵坐标相等，那么， 弧 上至少有一点 ，曲线在 点的切线为水平切线， 如图3-1. 图3-1 A, B AB C C
例1验证函数f(x)=x2-3x-4在[-1,4上是否满足 罗尔中值定理的条件如果满足,求区间(-1,4)内满足 罗尔中值定理的ξ值. 解f(x)=x2-3x-4=(x+1)x-4)在[-1,4上连续,在 (-1,4)内可导,且f(-1)=f(4)=0,所以满足罗尔中 值定理条件解方程∫(x)=2x-3=0,得x=2∈(14)这 即为满足罗尔中值定理的ξ值 罗尔中值定理的三个条件缺一不可,否则定理的结 论就可能不成立,请读者自己举出反例
例1 验证函数 在[-1，4]上是否满足 罗尔中值定理的条件.如果满足，求区间（-1，4）内满足 罗尔中值定理的 值. ( ) 3 4 2 f x = x − x − 解 ( ) 3 4 ( 1)( 4) 2 f x = x − x − = x + x − 在[-1，4]上连续，在 （-1，4）内可导，且 f (−1) = f (4) = 0 ，所以满足罗尔中 值定理条件.解方程 f '(x) = 2x − 3 = 0 ，得 x ( 1,4) 2 3 − = ,这 即为满足罗尔中值定理的 值. 罗尔中值定理的三个条件缺一不可，否则定理的结 论就可能不成立，请读者自己举出反例
定理32(拉格朗日 Lagrange中值定理) 如果函数满足条件: 1)在a,b上连续 (2)在(a,b)内可导, 则在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f"()= f(6)-f(a (3-1)
定理3.2（拉格朗日Lagrange中值定理） 如果函数满足条件： ⑴ 在[ a,b ]上连续， ⑵在( ) a,b 内可导， 则在区间（ a,b ）内至少存在一点 ，使得 b a . （3-1） f b f a f − − = ( ) ( ) '( )
拉格朗日中值定理的几何意义: 假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图形是连续光滑 的曲弧AB,如图3-2 B 王x b 图3-2 联结点A(a,f(a)和点B(b,f(b))的弦AB的斜率 为 b-a 而弧AB上某点C(5,f(5))处的切线斜率 为f(5).定理结论表明:在AB上至少有一点C,曲线在C 点的切线平行于弦AB
拉格朗日中值定理的几何意义： 假设函数 在区间[ ]上的图形是连续光滑 的曲弧 ，如图3-2. y = f (x) a,b AB 联结点A（ ）和点B（ ）的弦AB的斜率 为 ，而弧AB上某点C（ ）处的切线斜率 为 .定理结论表明：在AB上至少有一点C，曲线在C 点的切线平行于弦AB. a, f (a) b, f (b) b a f b f a − ( ) − ( ) , f ( ) f '( )
由拉格朗日中值定理可得出下面两个重要推论: 推论1如果∫(x)=0,Vx∈(a,b),则函数f(x)在 (a,b)是个常数 证x2>x1∈(a,b),则f(x)在[x12x2]上满足拉格朗日中 值定理的两个条件,由拉格朗日中值公式有 f(x2)-f(x1)=∫(5(x2-x),5∈(x1,x2) 由假设可知,(5)=0,所以f(x2)=f(x1)再由 x1,x2的任意性,因此f(x)在区间(a2b)内是一常数
由拉格朗日中值定理可得出下面两个重要推论： 推论1 如果 ，则函数 在 ( )内是个常数. f '(x) = 0,x (a,b) f (x) a,b 证 则 在 上满足拉格朗日中 值定理的两个条件，由拉格朗日中值公式有 由假设可知 ， ，所以 再由 的任意性，因此 在区间 内是一常数. ( , ), x2 x1 a b ( ) ( ) ( )( ) , ( , ), 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x [ , ] 1 2 x x f '( ) = 0 f (x) ( ) ( ) 2 1 f x = f x 1 2 x , x f (x) (a,b)
推论2如果f(x)=g(x)Vx∈(an,b),则有 f(x)=g(x)+C,vx∈(a,b其中C为一个常数 证令F(x)=f(x)-8(x) 由于F(x)=f(x)-g(x)=0,Vx∈(a,b) 由推论1,F(x)=C,Vx∈(a,b),即 f(x=g(x)+C,xE(a,b)
推论2 如果 ，则有 f (x) = g(x) + C,x (a,b) f '(x) = g'(x),x (a,b) ，其中C为一个常数. 由于 由推论1 ， ， 即 F(x) = f (x) − g(x) , F'(x) = f '(x) − g'(x) = 0,x (a,b) F(x) = C,x (a,b) f (x) = g(x) +C,x(a,b) 证 令
例2对于函数f(x)=hx在闭区间[l,e上验证拉 格朗日中值定理的正确性。 解显然f(x)=n在[1,e上连续,在(1,e)上可 导,又f(1)=hn1=0,f(e)=he=1,f"(x)=-,由拉格朗日中 Ine-In1 1 值定理,存在5∈(1,e),使得 E,从而解 得 s=e-1∈ e 在拉格朗日中值定理中,如果f(a)=f(b),就转化 成罗尔中值定理,所以罗尔中值定理是拉格朗日中值定 理的特例
例2 对于函数 ，在闭区间[1，e]上验证拉 格朗日中值定理的正确性。 解 显然 在[1，e]上连续，在（1，e）上可 导，又 由拉格朗日中 值定理，存在 （1，e）,使得 ，从而解 得 在拉格朗日中值定理中，如果 ，就转化 成罗尔中值定理，所以罗尔中值定理是拉格朗日中值定 理的特例. f (x) = ln x f (x) = ln , 1 (1) ln 1 0, ( ) ln 1, '( ) x f = = f e = e = f x = 1 e 1 ln e ln 1 = − − f (a) = f (b) = e -1(1, e)