52微积分基本定理 我们知道,原函数和定积分是从不同的角度引出的 两个不同的概念,那么它们之间有没有联系呢?本节就 是解决这一问题的 首先分析下面一个熟知的问题 本章第一节中已知,变速直线运动物体的速度函数为 U(其在时间区间[a,B上通过的路程为
5.2 微积分基本定理 我们知道，原函数和定积分是从不同的角度引出的 两个不同的概念，那么它们之间有没有联系呢?本节就 是解决这一问题的. 首先分析下面一个熟知的问题: 本章第一节中已知,变速直线运动物体的速度函数为 (t), 其在时间区间 [,] 上通过的路程为
s=v(tdi 如果又知该变速直线运动物体的路程函数为S=S(t)2 则其在时间区间[a,BJ上通过的路程为 S(B)-(a) 从而可得这两者应相等即 u(t)dt=s(B)-s(a) a 我们又知,S(O)=D(D),即S()是U()的一个原函数上 式表明函数U()在[a,月]上的定积分等于b(t)
= s (t)dt, 如果又知该变速直线运动物体的路程函数为 则其在时间区间[ ]上通过的路程为 s = s(t), , s() − s(), 从而可得这两者应相等,即 = − (t)dt s() s(). 我们又知, 即 是 的一个原函数.上 式表明函数 在 上的定积分等于 s'(t) = (t), s(t) (t) (t) , (t)
的原函数s(t)在区间[a,B上的增量它反映了定积分与原 函数间的内在联系,这一规律是否具有普遍性,本节将 给予回答
的原函数 在区间[ 上的增量.它反映了定积分与原 函数间的内在联系，这一规律是否具有普遍性，本节将 给予回答. s(t) , ]
变上限的定积分 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,对于任意 x∈a61x)x的上也连续,因此,定积分0 存在对于给定的x∈[a,b]的每一个值,f(O)d都有惟 确定的值与之对应,因而∫f()d是定义在[ab上关于 积分上限的一个函数记作m(x)=f(dt,x∈[ab称 为变上限的定积分
一、变上限的定积分 设函数 在区间[ ]上连续，对于任意 的上也连续，因此，定积分 f (x) a,b x[a,b], f (x)在[a, x] x a f (t)dt 存在.对于给定的 x [a,b] 的每一个值， 都有惟 x a f (t)dt 一确定的值与之对应，因而 是定义在[ ]上关于 积分上限的一个函数.记作 称 为变上限的定积分. x a f (t)dt a,b ( ) ( )d , [ , ], = x a x f t t x a b
在几何上,当f(x)>0时,变上限的定积分(x)表 示右侧邻边可以变化的曲边梯形面积,如图5-9 y=fC e自 o a Dc 图59
在几何上，当 ≥0时，变上限的定积分 表 示右侧邻边可以变化的曲边梯形面积，如图5-9. f (x) (x)
这个面积q(x)随右侧邻边位置x的变化而变化,因 而这时(x)又称为面积函数
这个面积 随右侧邻边位置 的变化而变化，因 而这时 又称为面积函数. (x) x (x)
二、微积分基本定理 定理5,1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数 p(x)=f(t)dt 在区间[a,b]上可导,且 q(x)=(f()d)=f(x)
定理5.1 如果函数 f (x) 在区间[ ]上连续，则函数 [a,b] = x a (x) f (t)dt a,b '( ) ( ( )d )' ( ), = = x a x f t t f x 二、微积分基本定理 在区间 上可导，且
即变上限的定积分对积分上限x的导数等于被积函数在 积分上限x处的值 证△q=(x+△x)-(x) +△x f(dt-Cf(dt =/(+.(- x 由积分中值定理知,至少存在一定点,使得 ∈[x,x+△x]
即变上限的定积分对积分上限 的导数等于被积函数在 积分上限 处的值. 证 x x = (x + x) −(x) + = − x x a x a f (t)dt f (t)dt + = + − x a x x x x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt + = x x x f (t)dt 由积分中值定理知，至少存在一定点，使得 [x, x + x]
即△=f(5)A 已知∫(x是连续函数,Ax→>0时,5→>x,所以 f()→f(x),故 m lim f(s=f(x) >0△x5 →)x 因而 o(x)=lm f(x) Ax→>0△v 该定理告诉我们,变上限的定积分(x)=[f()d是 函数f(x)在区间上的一个原函数同时,也回答了上一章
即 已知 是连续函数， 时， 所以 ，故 = f ()x. f (x) x →0 → x, f ( ) → f (x) , 因而 lim lim ( ) ( ) 0 f f x x x x = = → → '( ) lim ( ). 0 f x x x x = = → 该定理告诉我们，变上限的定积分 是 函数 在区间上的一个原函数.同时，也回答了上一章 = x a (x) f (t)dt f (x)
关于连续函数一定存在原函数的问题,并且给出了连续 函数f(x)在[6上的一个原函数(x)=f()d
关于连续函数一定存在原函数的问题，并且给出了连续 函数 f (x) 在[ a,b] 上的一个原函数 = x a (x) f (t)dt