4.5微分方程初步 微分方程的基本概念 可分离变量的一阶微分方程 阶线性微分方程 1.一阶线性齐次微分方程的通解 2.一阶线性非齐次微分方程的通解
4.5 微分方程初步 1.一阶线性齐次微分方程的通解 2.一阶线性非齐次微分方程的通解 三、一阶线性微分方程 一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的一阶微分方程
微分方程的基本概念 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(xy)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设曲线方程为y=y(x)根据导数的几何意义, 有 dt2x两端积分得y=2xs, y=x+C) 其中C是任意常数把x=1,y=2代入上式, 得C=1于是所求曲线方程为y=x2+1
一、 微分方程的基本概念 例 1 一曲线通过点(1, 2)，且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为 2x，求这曲线的方程. 解 设曲线方程为 y x x = 2 d , 即 , 2 y = x + C 其中 C 是任意常数.把 x=1，y=2代入上式， 于是所求曲线方程为 1. 2 得 C =1 y = x + 根据导数的几何意义， 有 两端积分得 y = y( x) x x y = 2 d d
例2一列车在平直轨道上以15米/秒的速度行驶, 当制动时,列车加速度为03米秒2,求制动后列车 的运动规律 解设列车开始制动后秒钟内行驶米,s=(t) 由题意S"=-0.3两边积分 得S"=-0.3+C再积分一次 得S=-0.5t+Ct+C2, 因为S(0)=15,S(0)=0, 得 C,=15 制动后列车的运动规律为S=-0.15t2+15
例 2 一列车在平直轨道上以15米/秒的速度行驶， 当制动时，列车加速度为-0.3米/秒2，求制动后列车 的运动规律. 解 设列车开始制动后t秒钟内行驶s米，s=s（t）, 由题意 S = −0.3 两边积分 得 3 1 S = −0. t + C 再积分一次 得 0.15 , 2 2 S = − t + C1 t + C 因为 S(0) = 15, S(0) = 0, 得 15, 0, C1 = C2 = 制动后列车的运动规律为 0.15 15 . 2 S = − t + t
微分方程的有关概念 令微分方程:含有未知函数的导数(微分)的方程。 常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程 令偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程; 微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最 高阶导数的阶数。 x2y+y2cosx-xgy+e2ym=0三阶微分方程 2x 阶微分方程. ar
❖ 微分方程：含有未知函数的导数（微分）的方程。 高阶导数的阶数。 ， cos 0 2 2 x y + y x − xy + y = x e 三阶微分方程. 一阶微分方程. 微分方程的有关概念 ❖ 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程； ❖ 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程； ❖ 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最 x x y = 2 d d
一般地,n阶微分方程的形式是 xyy9y",…,n) 0 Flx, y,y',y )是x,y,y,y",…,y 的函数,而且一定含有p,其余的变量可以不出现。 如 y)+1=0: d d 2=0: dx- dx 5y"+y=7
( ) ( , , ' , " , , ) = 0, n F x y y y y ( ) , n y 一般地，n 阶微分方程的形式是 是 的函数，而且一定含有 ( ) ( ) n F x, y, y' , y" , , y (n) x, y, y' , y" , , y 其余的变量可以不出现。 如 ( ) + 1 = 0; n y 2 0; 4 4 + − = x y x y d d d d 5 y + y = 7
冷微分方程的解:如果函数y=以(x)代入微分方程后, 能使方程变为恒等式,则称y=以(x)为微分方程的 解 令通解:解中独立的任意常数的个数等于微分方程的 阶数的解. 令初始条件:问题中用于确定通解中的任意常数的条 件. 特解:利用初始条件确定出通解中的任意常数后 得到的解 令初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题
阶数的解. ❖ 通解：解中独立的任意常数的个数等于微分方程的 y = (x) 代入微分方程后， 能使方程变为恒等式，则称 y = (x) 为微分方程的 ❖ 特解：利用初始条件确定出通解中的任意常数后 ❖ 初始条件：问题中用于确定通解中的任意常数的条 ❖ 微分方程的解：如果函数 解. 得到的解. 件. ❖ 初值问题：求微分方程满足初始条件的特解的问题
一般初值问题可写为: x,v,y 0 n一」 X=xo 09 X=x 微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的 积分曲线
一般初值问题可写为： ( ) ( ) , ' , , , 1 0 1 0 0 0 0 0 − = − = = = = = n x x n x x x x y y y y y y ( ) ( ) = 0 n F x, y, y' , y" , , y 积分曲线. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的
例3验证:函数x=C1cosk+C2sink是微分 方程x+kx=0的解.——通解 da 解 kc. sin kt +kC cos kt dt d=x k ci cos kt-k ca sink dt -k(C: cost+C2 sinkt) -kx dx =0
例3 验证：函数 1 2 x C kt C kt = + cos sin 是微分 2 2 2 d 0 d x k x t + = 的解. 解 1 2 d sin cos , d x kC kt kC kt t = − + 2 2 2 2 1 2 d cos sin d x k C kt k C kt t = − − ( ) 2 1 2 = − + k C kt C kt cos sin k x 2 = − 2 2 2 d 0. d x k x t + = 方程 通解
二、可分离变量的一阶微分方程 形如少=f(x)g(y aX 或f(x)·g(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0 的微分方程称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程一定能写成 g(y)dy=f(r dx (1)
二、可分离变量的一阶微分方程 形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程. d ( ) ( ) d y f x g y x = 或 1 1 2 2 f x g y x f x g y y ( ) ( )d ( ) ( )d 0 + = g y y f x x ( )d d = ( ) （1） 可分离变量的微分方程一定能写成
(1)的求解方法与步骤为: ①分离变量,使方程变为:g(y=八(xx ②两边积分:」8(炒=∫/(x知 ③得通解:G()=F(x)+C (2) (2)称为微分方程(1)的隐式解,也称为微分方程(1)的 隐式通解
( ) ( ) g y dy = f x dx G(y) = F(x)+C （2） (2)称为微分方程(1)的隐式解，也称为微分方程(1)的 隐式通解. （1）的求解方法与步骤为： ① 分离变量，使方程变为： g(y)dy = f (x)dx ② 两边积分： ③ 得通解：