《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）5.2 交通流量问题

§52交通流量问题 下图给出了某城市部分单行街道的交通流量(每 小时过车数) 100 400 300 200 300 600 500 200 400 300 500 600 700

§5.2 交通流量问题 下图给出了某城市部分单行街道的交通流量(每 小时过车数). 300 300 300 200 x8 500 100 500 200 400 600 400 x1 600 700 x3 x4 x5 x2 x7 x6 x9 x10

假设 (1)全部流入网络的流量等于全部流出网 络的流量; (2)全部流入一个节点的流量等于全部流 出此节点的流量试建立数学模型确定该交通网 络未知部分的具体流量. 问题分析与建立模型 由网络流量假设,所给问题满足如下线性 方程组:

假设 （1）全部流入网络的流量等于全部流出网 络的流量； （2）全部流入一个节点的流量等于全部流 出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网 络未知部分的具体流量. 问题分析与建立模型 由网络流量假设，所给问题满足如下线性 方程组：

x2-x3+X4=300 x4+X5=500 7 x=200 xX1+x,=800 x1+X5=800 X十x 8 L000 400 x10-x9=200 lO 600 x。十x2+x=1000

                 + + = = − = = + = + = + = − = + = − + = 1000 600 200 400 1000 800 800 200 500 300 8 3 6 1 0 1 0 9 9 7 8 1 5 1 2 7 6 4 5 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

方程组的系数矩阵为 01-1 000000 0001100000 00000-11000 1100000000 1000100000 000000 100 0000000010 00000000-11 0000000001 0010010100

方程组的系数矩阵为                                 − − − = 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 A

01-11000000300 0001100000500 00000-11000200 方程组的增100010000080 广矩阵为B= 0000000010400 00000000-11200 0000000001600

方程组的增 广矩阵为B                                 − − − = 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 600 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 200 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 400 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1000 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 800 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 800 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 200 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 500 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 300

系数矩阵的秩r4)=8, 增广矩阵的秩κ(4)=8,将增广矩阵作初等变换得: 1000 00000800 0100-1000000 0010000000200 0001100000500 0000010100800 B 00000011001000 0000000010400 0000000001600 00000000000 00000000000

系数矩阵的秩 r(A) = 8， 增广矩阵的秩 r(A)=8，将增广矩阵作初等变换得：                                 −  = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 600 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 400 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1000 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 800 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 500 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 200 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 800 B

其对应的齐次同解方程组为 X1+X5=o 2 O O x4+x5=0 x6+x8=o xX+x 8 9 O lO O

其对应的齐次同解方程组为              = = + = + = + = = − = + = 0 0 0 0 0 0 0 0 10 9 7 8 6 8 4 5 3 2 5 1 5 x x x x x x x x x x x x x

取(x,x8)为自由未知量,分别赋两组值为 (1,0),(0,1).得齐次方程组基础解系中两个解向量 000 0 nI 2 0 0000

取（x5 , x8）为自由未知量，分别赋两组值为 （1,0）,（0,1）.得齐次方程组基础解系中两个解向量 η ,η .                                 − − =                                 − − = 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2

其对应的非齐次方程组为 x1+x=800 2 O x3=200 x4+x5=500 x。+x=800 7 8 1000 400 xX 10 =600

其对应的非齐次方程组为              = = + = + = + = = − = + = 600 400 1000 800 500 200 0 800 10 9 7 8 6 8 4 5 3 2 5 1 5 x x x x x x x x x x x x x

赋值给自由未知量(x,x)为0,0得非齐次方程 组的特解 800 O 200 500 O 800 O 400 600

赋值给自由未知量(x5 , x8 )为(0, 0)得非齐次方程 组的特解 x . *                                 = 600 400 0 1000 800 0 500 200 0 800