§1.2n阶行列式的计算 例1计算行列式 31-12 D 313 解利用行列式的性质3,把行列式某一行(列) 的元素化为只剩一个非零元素,然后按这一行(列)
§1.2 n 阶行列式的计算 例1 计算行列式 解 利用行列式的性质3，把行列式某一行（列） 的元素化为只剩一个非零元素，然后按这一行（列） 1 5 3 3 2 0 1 1 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − − D =
展开,从而计算降阶行列式 51 511 D= =(-1)×1x-111 0010 5-530 62 =(-5)-620=(-5)×(-1) (-5)×(-6-2)
展开，从而计算降阶行列式. 5 5 0 11 1 1 5 1 1 ( 1) 1 5 5 3 0 0 0 1 0 11 1 3 1 5 1 1 1 3 3 − − = − − − − − − − − = + D ( 5) ( 6 2) 40. 1 1 6 2 ( 5) ( 1) 1 1 0 6 2 0 5 1 1 ( 5) 1 3 = − − − = − = − − = − − +
例2计算上三角行列式(>时,an1=0) 12 00 22 23 22n 3 0 a 0 解D=a1 4n 22 00 nn 1022 利用上、下三角行列式的计算结果,在计算行列 式时,可以用行列式的性质把行列式先化为上(下) 三角行列式
例2 计算上三角行列式(i＞j 时，aij =0). nn n n a a a a a a D 0 0 0 22 2 11 12 1 = 解 . n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D a 1 1 2 2 4 4 4 3 3 3 4 3 1 1 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 = = = = 利用上、下三角行列式的计算结果，在计算行列 式时，可以用行列式的性质把行列式先化为上（下） 三角行列式
例3计算行列式 9137 D 3-15-5 28-7-1 解利用行列式性质将它化为上三角形行列式 9137 25-13 0-132517 5026-34-26 28-7-10026-33-24 9137 9137 01325170132517 312 0016800168 01710000
例3 计算行列式 2 8 7 10 3 1 5 5 1 9 13 7 2 5 1 3 − − − − − − − D = 解 利用行列式性质将它化为上三角形行列式. 312 2 3 0 0 0 0 0 16 8 0 13 25 17 1 9 13 7 0 0 17 10 0 0 16 8 0 13 25 17 1 9 13 7 0 26 33 24 0 26 34 26 0 13 25 17 1 9 13 7 2 8 7 10 3 1 5 5 2 5 1 3 1 9 13 7 = − − = − − − = − − − − − − − = − − − − − − − − D = −
例4计算行列式 D +y 解利用行列式性质7,把D写成两个行列式之和 01-x1 D 011+y1111+
例 4 计算行列式 解 利用行列式性质7，把 D 写成两个行列式之和 y y x x D − + − + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y y x y y x x D − + − + − + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
000 O =x01+y t xy 1+y +|0 0+xy 00 dI 1)-y2]+xy r y
2 2 2 2 2 2 2 (1 1) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y x x y y x y x y y y y y x x x y y y y y x x y y x y y x x = = − − − − + + − + − + = − + − + + − + − = − − + − + − =
例5求证 12 12 21 12 11012 00b1b2 00 21 证明左式 21 22 12 12 00 12 22
例5 求证 证明 左式 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 0 b b b b a a a a b b b b a a c c a a c c = 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 b b b b a c c a b b b b a c c = a −
b1 b12 2112 22 12 122-12 21 b21b2 =右式 21 6 b 22|21 22
2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( ) b b b b a a a a b b b b a a a a b b b b a a b b b b a a = = − = − =右式
例6计算n阶行列式x (1) D a x 解把2到n列都加到第1列,提出第1列的公因子 x+(m-1)a,然后将第1行乘-1分别加到其余各行,D 就化为上三角形行列式 D=x+(n-1)a] a x rX
例6 计算 n 阶行列式 （1） 解 把 2 到 n 列都加到第 1 列, 提出第 1 列的公因子 [x+(n－1)a]，然后将第 1 行乘－1分别加到其余各行,D 就化为上三角形行列式 a a a x a a x a a x a a x a a a D = a a x a x a x a a a a a D x n a 1 1 1 1 = + ( −1)
x-a Ix+(n-1)a0 0 x-a 000 X-a x+(n-1)akx-a) x+123 (2) +23 D=1 2x+3 23 x+1
1 ( 1) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1) − = + − − − − − = + − n x n a x a x a x a x a a a a x n a x n x n x n x n D + + + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (2)