35最大值与最小值及经济应用举例 、最大值与最小值 函数的最大值、最小值与极大值、极小值一般说是 不同的 若x∈a,b对∨x∈[a,b有 f() f(x)(ox f(xok f(r) 则称(x是函数f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值) 由定义3.1可知,极值是局部性的概念,而最大值 (或最小值)是全局性的概念,极值只是函数在极值点 的某邻域的最大值(或最小值),而最大值是函数在所考 察的区间上全部函数值中的最大值(或最小值)
3.5 最大值与最小值及经济应用举例 一、最大值与最小值 函数的最大值、最小值与极大值、极小值一般说是 不同的. 若 对 有 ≥ （或 ≤ ）， 则称 是函数 在[ ]上的最大值（或最小值）. 由定义3.1可知， 极值是局部性的概念， 而最大值 （或最小值）是全局性的概念，极值只是函数在极值点 的某邻域的最大值（或最小值），而最大值是函数在所考 察的区间上全部函数值中的最大值（或最小值）. [ , ], x0 a b x [a,b] ( ) 0 f x f (x) ( ) 0 f x f (x) ( ) 0 f x f (x) a,b
对于一个闭区间[a,b上的连续函数f(x),它的最大 值、最小值只能在区间的端点、驻点及不可导点处取得, 将以上特殊点的函数值相比较,其中最大的就是函数∫(x) 在[a,b]上的最大值maxf(x),最小的就是函数f(x)在 [a,b]上的最小值minf(x)
对于一个闭区间[ ]上的连续函数 ，它的最大 值、最小值只能在区间的端点、驻点及不可导点处取得， 将以上特殊点的函数值相比较，其中最大的就是函数 f (x) f (x) a,b a,b max f (x) axb a,b min ( ) a x b f x 在[ ]上的最大值 ，最小的就是函数 f (x) 在 [ ]上的最小值
例1求f(x)=(x-9x在[-26]上的最大值和最小值 解f(x)在[-2,6上连续 f(x)=x+4 X (x-9)x 在x=0处,八(x)不存在,x=4为f(x)的驻点 f(-2)=-1l1y16≈-19,15,f(0)=0 f(4)=-5V256≈-1516,f(6)=-3·√1296≈-1258 比较以后,可知f(x)在[-2,6上的最大值为f(0),最小值 为f(-2)=-116 f(x)在2,6上 的图形如右图 -10 15
例1 求 在[-2,6]上的最大值和最小值. 解 在[-2,6]上连续. , 在 =0处, 不存在, =4为 的驻点. 比较以后,可知 在[-2,6]上的最大值为 , 最小值 为 . 5 f (−2) = −11 16 5 4 f (x) = (x − 9) x f (x) 5 5 1 5 4 5 9( 4) ( 9) 5 4 '( ) x x f x x x x − = + − = − x f '(x) x f (x) f (0) (4) 5 256 15.16, (6) 3 1296 12.58 5 5 f = − − f = − − f (x) ( 2) 11 16 19.15, (0) 0. 5 f − = − − f = f (x) 在[-2,6]上 的图形如右图
例2求f(x)=x4-2x2+1在[-,2]上的最大值和 最小值 解f(x)在[一,2]上连续 f(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1) f(x)有三个驻点:x=-1,x=0,x=1, 其中x=-1不在指定区间内 f(-=)=,,f(0)=1,f(1)=0,f(2)=9, 216 比较以后,可知f(x)在[-,2上的最大值为f(2)=9, 最小值为f(1)=0, f(x)在[-,2]上 的图形见右图 o.5 5
例2 求 在[- ,2]上的最大值和 最小值. 解 在 上连续. 有三个驻点 ： 其中 不在指定区间内. 比较以后,可知 在 上的最大值为 , 最小值为 ( ) 2 1 4 2 f x = x − x + 2 1 f (x) ,2] 2 1 [− '( ) 4 4 4 ( 1)( 1) , 3 f x = x − x = x x − x + f (x) x = −1, x = 0, x =1 , x = −1 , (0) 1, (1) 0, (2) 9 , 16 9 ) 2 1 f (− = f = f = f = f (x) ,2] 2 1 [− f (2) = 9 f (1) = 0 , 的图形见右图 在 ，2]上 2 1 f (x) [−
例3设有一块边长为am的正方形铁皮,从四个角截 去同样的小方块做成一个无盖的小方盒子问小方块的边 长为多少时才能使盒子容积最大?(如图3-12所示) 解设小方块的边长为xm,则无盖方盒子的容积为 V=x(a-2x)*=4x'-4ax+a'x =12x2-8ax+a2=(2x-a)6x-a) 令V=0求得x=2=6 因为=24x-8a,"(()=4a>0V"()=-4a<0 所以x=6极大值点2x=2舍去 由于V在区间(0,4)内只有惟 的极大值则这个极天值就是最大 值所以小方块的边长为6m时, 盒子的容积最大最大容积为: 27 图3-12
例3 设有一块边长为 m的正方形铁皮,从四个角截 去同样的小方块,做成一个无盖的小方盒子,问小方块的边 长为多少时才能使盒子容积最大?(如图3-12所示) 解 设小方块的边长为 m,则无盖方盒子的容积为 , 令 ,求得 a x ( 2 ) 4 4 , 2 3 2 2 V = x a − x = x − ax + a x ' 12 8 (2 )(6 ) 2 2 V = x − ax + a = x − a x − a V' = 0 , 6 , 2 1 2 a x a x = = ) 4 0. 6 ) 4 0, ''( 2 '' = 24 −8 , ''( = = − a a a V a V x a V 6 2 a x = 2 1 a x = 2 a 6 a ( ) 27 2 ) 6 ( 3 3 a m a V = 因为 所以 极大值点, 舍去. 由于 在区间(0, )内只有惟一 的极大值,则这个极大值就是最大 值.所以,小方块的边长为 m时, 盒子的容积最大,最大容积为： 图3-12 V
、经济应用举例 例4某产品的固定成本是18(万元),变动成本是 2x-2+5x(万元),其中x为产量(单位:百台),求 平均成本最低时的产量 解成本函数为C(x)=2x2+5x+18, 平均成本 A(x) C(x) 18 即 A(x)=2x+5+ x 求导 A(x)=2、8 令A(x)=0,解得驻点x=+3,取x=3(x=-3舍去 又 36 (x) 即 (3)=>0
二、经济应用举例 例4 某产品的固定成本是18（万元），变动成本是 （万元），其中 为产量（单位：百台），求 平均成本最低时的产量. 解 成本函数为 ， 平均成本 即 求导 令 ，解得驻点 ，取 又 2x 5x 2 + ( ) 2 5 18 2 C x = x + x + . ( ) ( ) x C x A x = . 18 ( ) 2 5 x A x = x + + . 18 ( ) 2 2 x A x = − x , 36 ( ) 3 x A x = ( ) = 0 A x x = 3 x = 3 (x = −3舍去) 0. 3 4 (3) = 即 A
故x=3是惟一的一个极小值点,也就是最小值点,因此 当产量x=3百台时,平均成本最低 平均成本函数图形如下图 30 27.5 22.5 20 17.5 12.5 2 6 8 10
故 是惟一的一个极小值点，也就是最小值点，因此 当产量 百台时，平均成本最低. x = 3 x = 3 平均成本函数图形如下图
例5某厂生产某产品,其固定成本为2000元,每生产 吨产品的成本为60元,该种产品的需求函数为 Q=1000-10p(Q为需求量,p为价格,试求: (1)总成本函数,总收入函数, (2)产量为多少吨时,利润最大? (3)获得最大利润时的价格. 解(1)成本函数为C(Q)=60Q+2000 因需求函数9=100010m知p=1009 所以,总收入函数为: 10 R(Q=PQ=1000-.Q 10 (2)利润函数为: L(O=R(O-C(O) Q2+40Q-2000 10 L(Q)=--Q+40 令L(Q)=0解得Q=200
例5 某厂生产某产品，其固定成本为2000元，每生产 一吨产品的成本为60元，该种产品的需求函数为 试求： ⑴总成本函数，总收入函数， ⑵产量为多少吨时，利润最大？ ⑶获得最大利润时的价格. 解 ⑴成本函数为 因需求函数 所以，总收入函数为： ⑵利润函数为： 40. 5 1 L(Q) = − Q + C(Q) = 60Q + 2000, . 10 1 ( ) 100 2 R Q = pQ = Q − Q Q =1000 −10 p ( Q为需求量，p为价格)， , 10 1000 10 , 100 Q Q = − p 知 p = − 40 2000. 10 1 ( ) ( ) ( ) 2 L Q = R Q −C Q = − Q + Q − 令L(Q) = 0.解得 Q = 200
又(Q)=-<0,所以Q=200为惟一的一个极大值点, 也是最大值点,即当产量为200吨时利润最大 (3获得最大利润时的价格: P=100、1 200=80(元) 10 2000 1500 利润函数的 图形见右图 1000 及下图 L(Q)=-Q2+40Q-2000 10 50100150200250300350
又 为惟一的一个极大值点， 也是最大值点，即当产量为200吨时利润最大. ⑶获得最大利润时的价格： 0, 200 5 1 L（'' Q）= − 所以Q = 200 80( ) 10 1 p =100 − = 元 利润函数的 图形见右图 及下图 40 2000. 10 1 ( ) 2 L Q = − Q + Q −
L(O) Q2+40Q-2000=-10(6200-160p+p2) 10 2000 500 000 L(Q)=-106200-160p+p 500 80 90 100
40 2000 10 6200 160 . 10 1 ( ) L Q = − Q 2 + Q − = − （ − p + p 2 ） L(Q) = −10（6200 −160p + p 2 ）