02 21导数的概念 导数的概念 二、导数的几何意义 三、函数的可导性与连续性的关系
2.1 导数的概念 02 一、导数的概念 二、导数的几何意义 三、函数的可导性与连续性的关系
2.1导数的概念 导数的概念 1.引例 (1)变速直线运动的速度 t=tn+△t 匀速直线运动p 变速直线运动运动方程(位置函数)为s=(t), 平均速度从t=to到t=to+△t, s(+△)-() △
2.1 导数的概念 （1）变速直线运动的速度 1. 引例 s = s(t), 匀速直线运动 t s v = 变速直线运动运动方程（位置函数）为 平均速度 t 从t = t 0 到 t = t 0 + ， x 0 t t = t + t 0 . ( ) ( ) 0 0 t s t t s t v + − = 一、导数的概念
求t时刻的瞬时速度v(to) 物体由运动到to+△,时间间隔△愈小 平均速度p=Xn+△)-x()愈接近于t时刻的 △t 瞬时速度v(t0) (to+△)-(t) S(t)-s(t0) v(to)=lim lim Mt→0 速度是位移对于时间的变化率
( ). 0 0 求 t 时刻的瞬时速度 v t 0 0 ( ) ( ) lim 0 t t s t s t t t − − = → 速度是位移对于时间的变化率. 物体由 , 0 t 0 运动到 t + t 时间间隔 t 愈小， 平均速度 t s t t s t v + − = ( ) ( ) 0 0 愈接近于 ( ) 0 瞬时速度 v t t 0 时刻的 t s t t s t v t t + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0
(2)曲线y=(x)切线斜率 切线设曲线C及C上一点M在C上另取一点 N,作割线MN当点N沿曲线C趋向M时,如果割 线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT 就称为曲线C在点M处的切线 设M(xn,y曲线C:y=f(x)止的一点 在C上另取一点N(x,y), 则割线MN的斜率为 y=f() C y-yo f(x)-f(o) M tano 0 0 X x
（2）曲线 y = (x) 切线斜率 切线: ( , ) : ( ) , 设M x0 y0 为曲线C y = f x 上的一点 N,作割线MN.当点 N 沿曲线 C 趋向 M 时，如果割 线 MN 绕点M 旋转而趋向极限位置 MT，直线MT 就称为曲线 C在点 M处的切线. 在 C 上另取一点 N(x, y), N x0 x y = f (x) o x y ) C M 则割线 MN 的斜率为 T , ( ) ( ) tan 0 0 0 0 x x f x f x x x y y φ − − = − − = 设曲线 C 及 C 上一点M,在 C 上另取一点
切线MT的斜率为k=lmf(x)-f(x) x一x 斜率是函数对于自变量的变化率 上面两例虽然不同,但解决问题的方法都是对某 个函数,求当自变量的改变量趋于零时,函数的 改变量与自变量的改变量之比的极限 v(to)=lim s(o+△)-s(t0) △t k= imf(x)-f(xo)
0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = 切线 MT 的斜率为 → 斜率是函数对于自变量的变化率. 上面两例虽然不同，但解决问题的方法都是对某 一个函数，求当自变量的改变量趋于零时，函数的 改变量与自变量的改变量之比的极限. , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 t s t t s t v t t + − = → . ( ) ( ) lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = →
2.导数的定义 设y=f(x)在点x的某个领域内有定义,当x 在x处取得增量Ax(点xn+Ax仍在该邻域内)时, 函数y取得增量y=f(x0+Ax)-f(x);如果与Ax 之比当Ax→0时的极限存在测称函数y=∫(x)在点 x处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处 的导数,记为f(x),即 flo =lin by=lin f(ro+ Ax)-f(xo) △x->0△y△x→>0 △v
2. 导数的定义 的导数，记为f (x0 ), 即 之比当 x → 0时的极限存在，则称函数y = f (x) 在点当 x 在 x0 处取得增量x（点 x0 + x 仍在该邻域内 ）时 ， ( ) ( ); 函 数 y 取得增量 y = f x0 + x − f x0 如 果y与x x0 处可导， 并称这个极限为函数y = f (x) 在 点 x0 处 ( ) 设 y = f x 在 点x0 的某个领域内有定义， lim 0 x y x = → ( ) x0 f . x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0
如令△x=x-x0 4y=∫(x+△x)-f(x0)=f(x)-f(x0) f(ro=lim f(x)-f(o) X- 0 即f'(xn)=im=lim f(x)-f(xo) △ yx→x0 如上例中:v(t)=∫(t0)
0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → 如令x = x − x0 ， 如上例中： ( ) ( ), 0 0 v t = f t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x0 y = f x + x − f x = f x − f 即 lim 0 x y x = → ( ) x0 f 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → ( ) = 0 f x
注 ①导数记号f(x0)也可记作y=, x aX ②如果极限不存在,就说函数y=f(x)在x 处不可导 ③如果函数y=(x)在开区间(a,b)内的每点处 都可导,就称函数∫(x)在开区间(ab)内可导
| , x x0 y = 也可记作 d d , 0 x x x y = 0 d ( ) , d x x f x x = ( ) . 0 x x f x x = d d 注 ② 如果极限不存在，就说函数 处不可导. ③如果函数 y=f (x) 在开区间 (a,b) 内的每点处 ①导数记号 ( ) x0 f 0 y = f (x)在 x 都可导, 就称函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内可导
极限 f(xo+△x)-f(xn) △ 称为∫(x)在x0 △->0 点的左导数,记为f(x 极限im f(xrn+△x)-f(xn) △v 称为f(x)在x0 点的右导数,记为f(x) 显然,函数/x)在点x处可导的充分必要条件是 左导数∫(x)和右导数f(xn)都存在且相等 即x)存在分∫(x0)=f(x0)
④ 极限 ( ) ( ) lim 0 0 0 x f x x f x x + − → − 称为 f ( x) 在 x0 点的左导数，记为 ( ) 0 / f x − 极限 ( ) ( ) lim 0 0 0 x f x x f x x + − → + 称为 f ( x) 在 x0 点的右导数，记为 ( ) 0 / f x + 显然，函数 f(x) 在点 ( ) ( ) . 左导数 f x0 和右导数 f x0 都存在且相等 − + x0 处可导 的充分必要条件是 即 存在 ( ) 0 / f x − ( ) 0 / f x = + ( ) x0 f
3利用定义求导数举例 例1求函数f(x)=C(为常数的导数 解 C-C ∫(x)=i ∫(x+h)-f(x) 0, h→0 h h→0 h 即 (c)=0. 这就是说,常数的导数是零 如 e (ln5)=0
3.利用定义求导数举例 例１ 解 lim 0, ( ) ( ) ( ) lim 0 0 = − = + − = → → h C C h f x h f x f x h h 即 ( ) = 0. C 这就是说，常数的导数是零. 求函数 f (x) = C (C为常数)的导数. 如 (e ) 0 3 = (ln 5) = 0