42基本积分公式 基本积分表 二、直接积分法
4.2 基本积分公式 一、基本积分表 二、直接积分法
基本积分表 ()kdx=h+C (2)x“axst1 +C(m≠ +1 (3)-dx=In(x+C (4)adx=,+C(a>0,a≠1) x na (5)e'dx=e+c ( 6)sin xdx =-cosx+C (7)cos xdx=sinx+C 8sec xdx=tanx+C (9)csc'xdx=-cotx+C(10)secx tan xdx=secx+C 1)escx cot xdx=-cscx+C 12) +c (13)|—dx=2yx+C x
一、基本积分表 k x = kx + C (1) d ( 1) 1 (2) 1 + − + = + d C x x x 1 (3) d ln x x C x = + d (6) sin x x = −cos x + C d (7) cos x x = sin x + C (8) xdx = x + C sec tan 2 (9) xdx = − x + C csc cot 2 (10) x xdx = x + C sec tan sec (11) x xdx = − x + C csc cot csc (5) e d e x x x C = + (4) d ( >0, 1) ln x x a a x C a a a = + 2 1 1 (12) d x C x x = − + 1 (13) d 2 x x C x = +
例1求∫d 解 X +C=-+C 3+1 2x 例2求 x√xdv 解∫ x√xdx=x2dx5,+C=元x2+、23+C x x 例3求 dx x vr dx 解 x X= +C=-3x3+C. x vx
例 1 . 3 xdx 求 解 3 dxx − = x dx 3 3 1 3 1 x C − + = + − + 2 1 . 2 C x = + 例2 . 2 x x dx 求 解 x dx 25 = 5 1 2 5 1 2x C + = + + 72 27 = + x C 2 3 . 7 = + x x C 例3 . 3 x x x d 求 解 x dx − = 34 4 1 3 4 1 3 x C − + = + − + 13 3 . x C − 3 = − + x xx d 2 d x x x
二、直接积分法 例4求∫x(x2-5A 解Jx(2-53d=∫(x2-5x2)=-∫x2 dx-5xi x2-52x2+Cs2 2l03 7--x2+C. 例5求 (x-①) 解(x-)dx-3x2+3x-lt =(x-3+3x1-x2)dr= x=3x+3lnx+-+C 2
例4 x(x 5)dx 2 − 求 解 x(x 5)dx 2 − (x 5x )dx 2 1 2 5 = − x dx x dx = − 2 1 2 5 5 . 3 10 7 2 3 2 5 7 2 2 3 2 7 2 3 2 7 = x − x + C = x − x + C 例5 ( ) . 1 2 3 x x x d − 求 解 x x x x x d − + − = 2 3 2 3 3 1 (x 3 3x x )dx −1 −2 = − + − . 1 3 3ln 2 2 C x x x x = − + + + 二、直接积分法 ( ) x x x d − 2 3 1
例6求∫(e-3 cos x ddx. A (er-3 cos x dx=e-3sin x+C 例7求∫2ed 解∫p2cdk-(a)dx (2e)dx (2e)2 +C, ln2+1
例 6 (e 3cos )d . x − x x 求 解 (e 3cos )d x − x x e 3sin . x = − +x C 例 7 2 x . x x e d 求 解 x x e d x = ( 2 ) x x e d 2 x x e d = ( 2 ) . ln 2 1 ( 2 ) C x + + = e
例8求 1+x+x x(1+x 解 1+x+x (1+x2)+x x(1+ 2:dx x+x dx dx=In x+arctanx+C 1+x 例9求 1+y 解 (x-1)+1 1+x x2-1)x+-,dx= 1+x 3+arctan x+C
例 8 . ( 1 ) 1 2 2 x x x x x d + + + 求 解 x x x x x d + + + ( 1 ) 1 2 2 x x x x x d + + + = ( 1 ) ( 1 ) 2 2 x x x x d d + = + 2 1 1 1 = + + ln arctan . x x C 例 9 . 1 2 4 x x x d + 求 x x x d + 2 4 1 x x x d +− + = 2 41 ( 1 ) 1 x x x dx d + = − + 2 2 1 1 ( 1 ) x x C . x = − + arctan + 33 解
例10求「tan 解∫an2xo= sec x-ldx =tanx-x+c 例1求∫sm2 解 SIn costar (-sin x)+C
例10 tan . 2 xdx 求 解 xdx 2 tan x dx = (sec −1) 2 = tan x − x +C. 例11 . 2 sin2 x x d 求 解 x x d 2 sin2 ( x)dx = 1− cos 2 1 ( sin ) . 2 1 = x − x + C
例12求∫ SIn-cos 解 sIn—cos sInx 2 =csc xdx =-4cotx +C
例12 . 2 cos 2 sin 1 2 2 x x x d 求 解 x x x d 2 cos 2 sin 1 2 2 x x d = 2 2 sin 1 xdx = 2 4csc = −4cot x +C
1-cosx 例13求 SIn 1-cos x (1-cos x) (1+cosx 解 L Sm2 r cosx 2(1+cos xJdx 2(x +sin x)+C
例13 . 2 sin 1 cos 2 2 x x x d − 求 解 x x x x x x x d d − − + = − (1 cos ) 2 1 (1 cos )(1 cos ) 2 sin 1 cos 2 2 x dx = 2 (1+ cos ) = 2(x + sin x) + C
作业:P171.2 练习:P 178
作业: P177 1. 2. 练习: P178 3