《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）4.3 换元积分法

04 43换元积分法 第一类换元法(凑微分法) ∫f(x)b(x)x=∫f()n=F(o)-+C 二、第二类换元法(换根换元、三角换元) ∫f(x)x=∫/6y(灿=()-(+C ()含有√a2-x2,可令x=asin减x=acos (2)含有x2+a2,可令x= a tan t(或x=acot (3)含有√x2-a2,可令x=±asec(或x=土acsc)

4.3 换元积分法 一、第一类换元法（凑微分法） 二、第二类换元法（换根换元、三角换元) 04  ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f x x x f u u F u C u x  = = +   =   d d ( )  ( ) ( ) ( ) f x x f t t t (t) C. t x =  =  +     = d d ( ) ( ) ( ) ( ) (3) sec ( csc ). 2 tan cot 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 x a x a t x a t x a x a t x a t a x x a t x a t − =  =  + = = − = = 含 有 ，可令 或 含 有 ，可令 或 ； 含 有 ，可令 或 ；

、第一类换元法 定理1设f(a)具有原函数F(n)且n=p(x)可 导,则x)(x)dx=∫(0n=F(n)ms+C =F|(x)+C 证 dFI flu du Flo(x) dx dx f(uo(x) =∫!(x)lp(x)

一、第一类换元法 设f (u)具有原函数F(u)，且u = (x)可 证 = f[(x)](x) ( ) F[ (x)] x x F u  d d d d = ( ) x u u F u d d d d =  = f (u)(x)  ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f x x x f u u F u C u x   = = +   =   d d 定理1 = F[(x)] + C 导,则

例1求「2cos2xdx 解∫2032c=J cos 2x 2x dx cos 2ra2x (2x=u)=cos udu=sinu+C(u=2x) sine+c 例2求∫ 3+2x 解∫ +2x)d d(+2x)_1du 3+2x 3+2x 2J3+2x Inlul+C==In/ 3+2x+C

. 3 2 1  + x x 求 d  + x x d 3 2 1 ( )  ++ = xx 3 2 3 2 21 d ln 3 2 . 21 = + x + C 例 2 解 ( )  +  + = xx x 3 2 3 2 21 d 2cos 2 .  例 1 求 x dx  2cos 2 x dx  = cos 2 x d 2 x = sin 2 x + C . 解 x ( x ) dx  =  cos 2 2 u u  ( 2 x = u ) = cos d = sin u + C ( u = 2 x )  = udu 21 = ln u + C 21

例3求j2x 解∫2-dc=」()dr=je e"du =e+c=e +c 例4求 x√1-xdx. 解∫x(1-xd=」y-x2 d 2 12 u2+c 23 (1-x2)2+C 23 (1-x2)2+C

2 . 2  x x x 求 e d  x x x e d 2 2  = 2 2 x x e d . 2 C x = e + 例 3 解 (x ) x x e d  =  2 2 e du = u  eu = + C 1 . 2  求 x − x dx  x − x dx 2 1  = − 1 − ( 1 − ) 21 2 2 x d x = −  − x 2 + C 3 2 ( 1 ) 32 21 ( 1 ) . 31 23 2 = − − x + C 例 4 解 x ( x ) dx   −   = − −  2 2 1 21 1  = − u d u 21 = −  u 2 + C 3 32 21

例5求 x 解∫ dx a+x 1+ I、a 1+ 1+ a1+ ee du==arctan+C arctan -+C

. 1  2 2 + x a x 求 d  + x a x d 2 2 1    + = ax a a x d 2 1 1 1 arctan . 1 C ax a = + 例 5 解 x ax a d    + = 2 2 1 1    +   = 2 11 ax x ax a d  + = u a u d 2 1 1 1 u C a = arctan + 1

例6求∫ tan xdx 解∫andc=∫ sInx dr=-(cos r)dx cos x cos x dcos=--dr cos r =-In u/ +C=-Incos x+C 例7求 va=x 解∫ d va=x du arcsin+G arcsin -+c

tan .  求 xdx  tan xdx  = x x x d cos sin  = − x x cos cos 1 d = − ln cos x + C. 例6 解 ( )   − = x x x cos cos d  = − u u d 1 = − ln u + C . 1 2 2  − dx a x 求  − x a x d 2 2 1 x a x a d        − = 2 1 1 1 arcsin C. a x = + a x a x d        − = 2 1 1 例7 解 u u d  − = 2 1 1 = arcsin u +C

例8求 解 (x-a)(x+a) dx Inlx-a-Inlx+a+C 2ax-a x+a d 例9求 x(1+2Inx 解∫ d x din x d2 Inx x+2n)-」(+2m)=2(+2m I rd(1+2In x 2(1+2lnx)-2 In/1+2Inx+c

. 1  2 2 − x x a 求 d  − x x a d 2 2 1  − + = x x a x a d ( )( ) 1    + − − = x a x a x a d 1 1 21 (ln ln ) . 21 x a x a C a = − − + + 例 8 解 ( ) . 1 2ln  x + x dx 求 ( )  x + x x 1 2ln d ( )  + = x x 1 2ln d ln ( )  + = xx 1 2ln 2ln 21 d ( )  ++ = xx 1 2ln ( 1 2ln ) 21 d ln 1 2ln . 21 = + x + C 例 9 解

3 例10求∫dx 3√x 2 解∫9c2dNx= e3xd3√x = +c 3 例11求im3xdr #f sin'xdx= sin xsin xdx 2 sin rd cosx - cOs cosx cos式 =-coSX十 +c

. 3 x x x d e 求  x x x d e  3 x x e d 3 2 = . 3 2 3 C x = e +  = x x 3 3 2 3 e d sin . 3  求 xdx  xdx 3 sin  = sin xsin xdx 2  = − sin x cos x 2 d ( )  = − 1− cos x cos x 2 d . 3 cos cos 3 C x = − x + + 例10 解 例11 解

例12求∫ sin xcos xdx 解「im2 xcos xdx=sm2 xcos'xcos xdx sin2x1-sin x ∫sm小-2 sinx+sinx)smx sin2x-2sin4x +sinx Hsin sin'x--sin'x+-sin x+C 5

sin cos . 2 5  求 x xdx  x xdx 2 5 sin cos  = sin xcos xcos xdx 2 4 ( )  = sin x 1− sin x sin x 2 2 2 d ( )  = sin x 1− 2sin x + sin x sin x 2 2 4 d ( )  = sin x − 2sin x + sin x sin x 2 4 6 d sin . 7 1 sin 5 2 sin 3 1 3 5 7 = x − x + x + C 例12 解

例13求 cos xar 解Jc3xdr=+ cos 2 2 dx+ cos 2xdx dx+= cos 2xd2x x+sin 2x +C

cos . 2  求 xdx  xdx 2 cos  + = x x d 2 1 cos2 ( )   = dx + cos 2xdx 2 1       = +   x cos 2x 2x 2 1 2 1 d d sin2 . 2 1 2 1 x x + C      = + 例13 解