34函数的极值 从上节图3-8中可以看出,函数f(x)=(1-x)(3x-2)2在 点x=3的左侧附近,(x)是单调减少的,在点x=3的右 侧附近,f(x是单调增加的,点x=3是f(x)的单调区间的分 界点,而且在该点的某个去心邻域内,f(x)>f()均成 立,满足这种性质的点在应用上具有重要意义,我们定义 如下: 定义31设函数y=f(x)在点x0的某个δ邻域 N(x0,)={x-6f(x),则称(x为函 数f(x)的极小值,并且称点xO是f(x)的极小值点
3.4 函数的极值 从上节图3-8中可以看出，函数 在 点 的左侧附近， 是单调减少的，在点 的右 侧附近， 是单调增加的，点 是 的单调区间的分 界点，而且在该点的某个去心邻域内， ＞ 均成 立，满足这种性质的点在应用上具有重要意义，我们定义 如下： 定义3.1 设函数 在点 的某个 邻域 内有定义。 ⑴若 , 有 ＜ ，则称 为函数 的极大值，并且 称点 是 的极大值点. ⑵若 ，有 ＞ ，则称 为函 数 的极小值，并且称点 是 的极小值点。 0 x 3 2 f (x) = (1− x) (3x − 2) 3 2 x = f (x) 3 2 x = f (x) 3 2 f (x) x = ) 3 2 f (x) f ( f (x) y = f (x) ( , ) { } N x0 = x x0 − x x0 + ( ( , ) { }) ( , ) ( , ) x N x0 − x0 = x0 − x0 x0 x0 + f (x0 ) f (x) ( ) 0 f x f (x) 0 x ( ( , ) { }) 0 0 x N x − x f (x) ( ) 0 f x ( ) 0 f x f (x) 0 x f (x)
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点 与极小值点统称为函数的极值点.显然,极值是一个局部 概念,它只是在与极值点的某邻域内点的函数值相比较而 ,并不意味着它在函数的值域内的最大或最小,因此. 有可能出现函数f(x)的某个极大值却小于某个极小值的情形 如图39所示,函数f(x)在定义域[a2b]内有两个极大 值∫(x),∫(x)和两个极小值f(x),f(x3),其中极小值fx)却大 于极大值f(x) 图3-9
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点 与极小值点统称为函数的极值点.显然，极值是一个局部 概念，它只是在与极值点的某邻域内点的函数值相比较而 言，并不意味着它在函数的值域内的最大或最小，因此， 有可能出现函数 的某个极大值却小于某个极小值的情形. 如图3-9所示，函数 在定义域 [ ]内有两个极大 值 ， 和两个极小值 ， ，其中极小值 却大 于极大值 . f (x) f (x) a,b ( ) 1 f x ( ) 4 f x ( ) 2 f x ( ) 5 f x ( ) 5 f x ( ) 1 f x
由图3-9可看到,在可导的极值点x12xs处 有f"(x1)=f"(x3)=0,而在x=x3处,虽然f(x3)=0,但 是x不是极值点还有在x=x2及x=x4处,虽然f(x)不可 导,但这两点却是极值点 那么,函数极值的性质及判别法如何呢? 定理37(必要条件)设函数(x)在点x处可导,且点x 是f(x)的极值点,则在点x处的导数为零,即 x 0 证不妨假定点x是f(x)的极小值点,则彐δ>0,使 xe(N(x0,)-{x0}),有f(x)>f(x 于是,当x<x时,有 f(x)-f(x0) X-x <0,由 于f(x)在点x0处可导,所以 f(ro)=ln f(x)-f(xo) X-x
由图3-9可看到，在可导的极值点 处， 有 = 0，而在 处，虽然 ，但 是 不是极值点. 还有在 及 处，虽然 不可 导，但这两点却是极值点. 那么，函数极值的性质及判别法如何呢？ 1 5 x , x 定理3.7 (必要条件) 设函数 在点 处可导 , 且 点 f '(x0 ) = 0 证 不妨假定点 是 的极小值点,则 ＞0 , 使 ,有 ＞ , 于是,当 ＜ 时,有 ＜0 , 由 于 在点 处可导,所以 ≤0. x0 f (x) x ( ( , ) { }) 0 0 N x − x f (x) ( ) 0 f x x 0 x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − f (x) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim 0 x x f x f x f x x − − = → − 是 '( ) '( ) 1 5 f x = f x x = x3 f '(x3 ) = 0 3 x 2 x = x 4 x = x f (x) f (x) 0 x 0 x f (x) 0 的极值点，则在点 x 处的导数为零，即
当x>x0时有()x)>0.由于f(x)在点x处 X-x 可导所以 r(x)=lm1(x)-(x>0, x→0x-x 故只能有∫(x0)=0 我们称使f(x0)=0的点x为f(x)的驻点 定理37说明可导的极值点一定是驻点,但是,驻点却不 定是极值点如图3-9中的点x3就是其一;而不可导点,也不 定不是极值点如图3-7中,(=(x-5)￥x+在点x=-1处不 可导,但f(-1却是(x)的极小值,下面给出两个判断极值的 充分条件
当 ＞ 时,有 ＞0,由于 在点 处 可导,所以 ≥0, 故只能有 . 我们称使 的点 为 的驻点. x 0 x 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − f (x) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim 0 x x f x f x f x x − − = → + f '(x0 ) = 0 f '(x0 ) = 0 0 x f (x) 定理3.7说明,可导的极值点一定是驻点,但是,驻点却不 一定是极值点,如图3-9中的点 就是其一;而不可导点,也不 一定不是极值点,如图3-7中, 在点 = -1处不 可导,但 却是 的极小值,下面给出两个判断极值的 充分条件. 3 x 2 3 2 f (x) = (x − 5) (x +1) x f (−1) f (x)
定理38(判别法Ⅰ)设f(x)在x连续,在x的去心邻域 (x-6x)U(x0,x0+6)内可导, (1)如果在(x=6x)内f(x)0, 那么∫(x)在x0取极小值, (2)如果在(x-8x)内f(x)>0,在(x,x+6)内(x)<0, 那么f(x)在x0取极大值, (3)如果在(x-6,x则(x,x+)内f(x)不变号, 则f(x)在x处不取极值
定理3.8 (判别法Ⅰ) 设 在 连续,在 的去心邻域 ( ) 内可导, f (x) 0 x 0 x 0 0 x − , x ( , ) x0 x0 + 0 0 x − , x f '(x) + 0 0 ⑴如果在( )内 ＜0,在( x , x )内 f '(x) ＞0, 那么 在 取极小值, f (x) ⑵如果在( )内 ＞0,在( )内 ＜0, 那么 在 取极大值, ⑶如果在 内 不变号, 则 在 处不取极值. f '(x) f '(x) ( , ) ( , ) x0 − x0 x0 x0 + f '(x) 0 x 0 0 x − , x f (x) 0 x x0 , x0 + f (x) 0 x
证(1)根据单调性判别法,在(x0-x)内f(x)单调减少,在 (xx+δ)内∫(x)单调增加,由f(x)在x0处的连续性, 对x∈(x0-6)∪(x02x+6)有f(x)>f(x),所以f(x) 在x0处取得极小值 (2)同理可证 (3)在此条件下,f(x)在(x-6,x)和(x,x+6)上同 为单调增加或单调减少,因此f(x不是极值
证 ⑴根据单调性判别法,在( )内 单调减少,在 ( )内 单调增加,由 在 处的连续性 , 对 有 ＞ , 所以 在 处 取得极小值. ⑵同理可证. ⑶在此条件下, 在( )和( )上同 为单调增加或单调减少,因此 不是极值. 0 0 x − , x x0 , x0 + f (x) 0 x f (x) f (x) ( ) ( , ) x x0 − x0 x0 + f (x) ( ) 0 f x 0 x f (x) f (x) 0 0 x − , x x0 , x0 + ( ) 0 f x
根据定理38我们可以按下列步骤来寻找和判别极值: (1)对函数f(x)求导 (2)求出f(x)的驻点和不可导点, (3)用这些点将定义域分成若干区间考察每个部分区间 中f(x)的符号根据定理38判别这些点是否为极值点,是 极大值点还是极小值点
根据定理3.8,我们可以按下列步骤来寻找和判别极值: ⑴对函数 求导, ⑵求出 的驻点和不可导点, ⑶用这些点将定义域分成若干区间,考察每个部分区间 中 的符号,根据定理3.8判别这些点是否为极值点,是 极大值点还是极小值点. f (x) f (x) f '(x)
例1求∫(x)=x(x-2)的极值 解f(x)=x(x-2)2( 0<X<+0 f(x)=3x2(x-2)+2x3(x-2)=x2(x-25x-6) 令f(x)=0,得到驻点x1=0,x2=,x3=2,列表3-4讨论 表3-4 X (-∞,0)0(0.) 2 (2,+0) f(x)+ 0 f(x) 非极值极大值y极小值 3456 3125
解 , 令 ,得到驻点 ,列表3-4讨论: . 表3-4 3 2 f (x) = x (x − 2) ( ) ( 2) ( ) 3 2 f x = x x − − x + '( ) 3 ( 2) 2 ( 2) ( 2)(5 6) 2 2 3 2 f x = x x − + x x − = x x − x − f '(x) = 0 , 2 5 6 0, x1 = x2 = x3 = x (−,0) ) 5 6 (0, 5 6 ,2) 5 6 ( (2,+) f '(x) 0 2 + 0 + 0 - 0 + ↗ 非极值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 0 f (x) 3125 3456 例1 求 的极值
3456 函数曲线图见图310,f()的极大值为S)=3125 极小值为f(2)=0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1 2 /-0.2 图3-10
函数曲线图见图3-10， 的极大值为 ， 极小值为 . f (x) 3125 3456 ) 5 6 f ( = f (2) = 0 图3-10
例2求f(x)=V(2x-x2)2的极值 解函数定义域是(-∞+∞), ∫(x)= 2(2-2x)4(1-x) 2x-x232x-x 令"(x)=0得到驻点x=1,导数不存在的点是x=0, x=2.这三个点将定义域分为四个区间,列表3-5讨论: 表3-5 (-∞,0) (0,1) 2 2,+∞) f∫"(x) 不存在+ 不存在+ 极小值0 极大值1 极小值0
例2 求 的极值. 解 函数定义域是（ ）， ， 令 = 0 得到驻点 =1，导数不存在的点是 =0， .. =2 . 这三个点将定义域分为四个区间，列表3-5讨论： . 表3-5 3 2 2 f (x) = (2x − x ) −,+ 3 2 3 2 3 2 4(1 ) 2 (2 2 ) 3 2 '( ) x x x x x x f x − − = − − = f '(x) x x x x (−,0) (2,+) f '(x) f (x) 0 （0，1） 1 （1，2） 2 - 不存在 + 0 - 不存在 + ↘ 极小值0 ↗ 极大值1 ↘ 极小值0 ↗