第三章向量 §3.1n维向量及其运算 n维向量的概念 对于一个m×n矩阵,它的每一行都是由n个数组成 的有序数组,每一列都是由m个数组成的有序数组;例 如平面上一点的坐标是由两个数构成的有序数组(xy).在 实际问题中,会经常遇到需要由多个数构成的有序数组 来确定的量,为此,我们引入n维向量的概念
第三章 向 量 §3.1 n 维向量及其运算 一、n 维向量的概念 对于一个m×n矩阵，它的每一行都是由n个数组成 的有序数组，每一列都是由m个数组成的有序数组；例 如平面上一点的坐标是由两个数构成的有序数组(x,y).在 实际问题中，会经常遇到需要由多个数构成的有序数组 来确定的量,为此，我们引入n 维向量的概念
定义31由n个实数a1,a2,“,an组成的有序数组 称为n维向量,记作a=(a1,a2,…;an,a叫做向量a 的第个分量(i=12,…n).分量都是零的向量称为零向 量,记作0,即0=(0,0,…,0) 、向量的运算 两个n维向量a=(a1a2,…;an)与B=(b1b2…bn) 当且仅当a1=b(i=12,…n)时,称为两个向量相等, 记作a=B
定义3.1 由n个实数a1 ,a2 , ···,an组成的有序 数组 称为 n 维向量，记作α = (a1 ,a2 , ···,an ), ai 叫 做向量α 的第i个分量(i=1,2, ···,n). 分量都是零的 向量称为零向 量，记作0，即 0 = (0,0, …,0). 二、向量的运算 两个 n 维向量α = (a1 ,a2 , ···,an )与β = (b1 ,b2 , ···,bn ) 当且仅当 ai = bi (i =1,2, ···,n)时，称为两个向量相等， 记作α = β
1.数与向量的乘法 定义3.2n维向量a=(a1a2,…an)的各分量 的k倍所构成的n维向量,称为数k与向量a的乘积, 记做ka,即 k a=ke )=(ka1a2,…an) 显然,k·0=0,0·a=0
1. 数与向量的乘法 定义3. 2 n 维向量α = (a1 ,a2 , ···,an )的各分量 的 k 倍所构成的n 维向量，称为数 k 与向量 α的乘积， 记做k α,即 k α = k(a1 ,a2 , ···,an ) = (ka1 ,ka2 , ···,kan ) 显然 , k · 0= 0, 0 · α = 0
2.向量加法 定义33两个n维向量a=(a1a2,…;an),B= (b1b2,…b)的对应分量之和构成的n维向量, 称为与B的和,记做a+B.即 a+f=(a1;a2,…an)+(b1,b2,…,bn) (a1+b a2t b2 an+ bn) 向量(-a1-a2,…,-an)称为向量a=(a1a2,…,an) 的负向量,记做 由向量加法和负向量可以定义向量减法: a-B=a+(-B)=(a1-b1,a2-b2;…,anbn)
2. 向量加法 定义3.3 两个 n 维向量 α = ( a1 ,a2 , ···,an ), β = ( b1 ,b2 , ···,bn ) 的对应分量之和构成的n 维向量， 称为α 与 β 的和，记做α + β. 即 α + β = ( a1 ,a2 , ···,an ) + ( b1 ,b2 , ···,bn ) = ( a1+ b1 , a2+ b2 , ···, an+ bn ) . 向量(– a1 , – a2 , ···, – an )称为向量 α = (a1 ,a2 , ···, an ) 的负向量， 记做 – α = ( – a1 , – a2 , ···, – an ). 由向量加法和负向量可以定义向量减法： α – β = α+( – β )= (a1 – b1 , a2 – b2 ,···, an– bn )
不难验证,数与向量乘法和向量加法满足 以下运算律:设a、β、"是向量,k,l是数,则 (1)a+B=B+a (2)a+(+)=(a+β)+γ; (3)a+0=a; (4)a+(-a)=0 (5)(k+la=ka+lai (6)k(+)=ka+kB (7)(k1)a=k(a); (8)1·a=a
不难验证，数与向量乘法和向量加法满足 以下运算律：设α、 β 、γ是向量，k , l是数， 则 (1) α + β = β + α ; (2) α + (β + γ)=( α + β )+ γ ; (3) α + 0 = α ; (4) α + (-α) = 0 ; (5) (k + l) α = k α +l α ; (6) k(α + β )=k α +k β ; (7) ( k l ) α = k( l α) ; (8) 1 ·α = α
例1设a1=(1,2,3,4),a2=(-1,0,2, 求2a1+3 解 2a1+3a,-4 (2,4,6,8)+(-3,06,12)+(-12,8,4,0) (-13,12,16,20)
例1 设α1 = ( 1, 2, 3, 4), α2 = ( – 1, 0, 2, 4), α3 = (3, – 2, – 1, 0), 求 2 α1 + 3 α2 – 4 α3 解 2 α1 +3 α2 – 4 α3 = (2, 4, 6, 8) + ( – 3,0,6,12) + ( – 12,8,4,0) = ( – 13, 12, 16, 20)
例2已知向量a1=(2,-10,3) 2=(0,3,-2,4) 3=(-1,4,5,0) 求满足2(a1x)+3(a2+x)+(a3+x)=0 的向量x 解根据向量运算律可得: 2a1-2x+3a2+3x+a3+x=0
例2 已知向量 α1 = ( 2 , – 1,0, 3 ), α2 = ( 0, 3, – 2, 4 ), α3 = ( – 1, 4, 5, 0 ), 求满足 2(α1 –x) + 3(α2 +x) + (α3 +x) = 0 的向量 x. 解 根据向量运算律可得： 2 α1 – 2 x +3 α2 + 3 x + α3 + x = 0 x = – α1 – α2 – α3 2 3 2 1
代入a1,a2,a3得 x=-(2,-1,0,3)--(0,3,-2,4) (-1,4,5,0) (-2 3(-13 ×3 2 2 3 ×(-2 ×5,-3 2 2 2 ( 9) 222
代入 α1 ，α2，α3 得 ( , , , ). ( ) , ) ( ( ), , ( , , , ) x ( , , , ) ( , , , ) 9 2 1 2 11 2 3 4 2 3 5 3 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 3 1 1 2 1 2 1 4 5 0 2 1 0 3 2 4 2 3 2 1 0 3 = − − − − − − − − = − − − − − − = − − − − −
例3证明:若k=0,则或k=0或a=0 证明若k≠0, 以乘以ka=0两边得, ka 子0=1 0 k 即a=0
例3 证明：若 kα = 0, 则或 k = 0 或α = 0. 证明 若 k ≠ 0， 以 乘以 kα = 0 两边得， 即 α = 0. 1 k = 0 = 0 k k k 1 1 α