36边际分析与弹性分析简介 、边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济 函数的变化率设函数y=f(x)是可导的,那么导函数 f(x)在经济学中叫做边际函数,在经济学中有边际需求、 边际成本、边际收入、边际利润等 设产品的成本C与产量Q的函数关系为 C=C(Q)(Q>0) △C 当产量从2到g+△O时,成本的平均变化率为:△, 当产量为Q。时,成本的变化率为: △C =m(Q+△O)-C(Q C(Q0), △Q→0△O△→0 △O 我们称变化率C(Q为成本函数C=C(Q)在Q=Q处的边
y = f (x) f '(x) Q C '( ) , ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 C Q Q C Q Q C Q Q C Q Q = + − = → → Q0 到Q0 + Q时， C = C(Q) (Q 0) C Q0 Q 3.6 边际分析与弹性分析简介 一、边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济 函数的变化率.设函数 是可导的，那么导函数 在经济学中叫做边际函数，在经济学中有边际需求、 边际成本、边际收入、边际利润等. 设产品的成本 与产量 的函数关系为 ， 当产量从 成本的平均变化率为: ， 当产量为 时,成本的变化率为： 我们称变化率 C(Q)为成本函数 C = C(Q）在Q = Q0处的边
际成本,记作MC=C(Q 因为△C=C(Q+△Q)-C(Q)≈C()△Q, 当△Q=1时,有 △C=C(Q+1)-C(90)≈C(Q)=MC, 上式表明当产量达到Q。时,再生产一个单位产品所增加 的成本为△C,可以用成本函数C(Q)在点Q处的变化 率C"(Q0)(即边际成本MC近似地表示类似地,收入函数 R(Q)对产量的变化率R(Q称为边际收入,记作MR 利润函数L(Q)对产量Q的变化率D(Q)称为边际利 润,记作M,等等
际成本，记作 上式表明当产量达到 时，再生产一个单位产品所增加 的成本为 ，可以用成本函数 在点 处的变化 率 . (即边际成本 ）近似地表示.类似地，收入函数 '( ) MC = C Q0 ( ) ( ) '( ) , C = C Q0 + Q −C Q0 C Q0 Q Q = 1 ( 1) ( ) '( ) , C = C Q0 + −C Q0 C Q0 = MC 因为 当 时,有 对产量 的变化率 称为边际收入，记作 Q0 C C(Q) R(Q) Q0 '( ) C Q0 Q L(Q) R'(Q) Q L(Q) ML 利润函数 对产量 的变化率 称为边际利 润，记作 ，等等. MC MR
例1设某产品的总成本函数和收入函数分别为 C(Q=3+2√Q,R(O 5Q Q+1 其中Q为该产品的销售量,求该产品的边际成本、 边际收入和边际利润
1 5 ( ) 3 2 , ( ) + = + = Q Q C Q Q R Q 例1 设某产品的总成本函数和收入函数分别为 其中 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、 边际收入和边际利润. Q
解边际成本为 MC=C"(Q)=292s1 边际收入为 MR=R(O= 5(Q+1)-5Q (Q+1)2(g 5+ 利润函数为 L(Q)=R(9)-C(s5Q 3-2Q Q+1 边际利润为 5 M=C(9=R(Q)-C"(Q +1)2VQ
, 1 2 1 '( ) 2 2 1 Q MC = C Q = Q = − 边际收入为 , ( 1) 5 ( 1) 5( 1) 5 '( ) 2 2 + = + + − = = Q Q Q Q MR R Q 利润函数为 3 2 , 1 5 ( ) ( ) ( ) Q Q Q L Q R Q C Q − − + = − = 边际利润为 . 1 ( 1) 5 '( ) '( ) '( ) 2 Q Q ML L Q R Q C Q − + = = − = 解 边际成本为
例2某种商品的需求量Q与价格P的关系为 Q=1600(, (1)求边际需求MQ, (2)当商品的价格P=10元时,求该商品的边际需求量 解(1)MQ=Q(p)=1600()h()=-3200)h2, 25 (2)M(10)=g(10)=-3200)h2=-3h2 2
例2 某种商品的需求量 Q 与价格 p 的关系为 ) , 4 1 1600( p Q = ⑴求边际需求 ， ⑵当商品的价格 =10元时，求该商品的边际需求量. MQp 解 ) ln 2, 4 1 ) 3200( 4 1 ) ln( 4 1 (1) ( ) 1600 ( p p MQ = Q p = = − ln 2. 2 25 ) ln 2 4 1 (2) (10) '(10) 3200( 1 3 1 0 MQ = Q = − = −
弹性分析 函数=f(x)的改变量Ay=f(x+△x)-f(x)称为函数 在点x处的绝对改变量,Ax为自变量在点x处的绝对改 变量,函数在点x处的绝对改变量与函数在该点处的函 数值之比称为函数在点x处的相对改变量
二、弹性分析 函数 的改变量 称为函数 在点 处的绝对改变量， 为自变量在点 处的绝对改 变量，函数在点 处的绝对改变量与函数在该点处的函 数值之比 称为函数在点 处的相对改变量. y = f (x) y = f (x + x) − f (x) x x x x y y x
定义32设函数y=f(x)在点x处可导,则我们称极限 im y x x x d lim f∫"(x)= A>0△x/xAx0△xyy 为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或弹性, 记作们,即 x ay X 函数y=f(x)在点x处的弹性反映了当自变量x变 化1%时,函数f(x)变化的百分数为m%
定义3.2 设函数 y = f (x) 在点 x 处可导，则我们称极限 x y y x f x y x y x x y x x y y x x d d lim '( ) / / lim 0 0 = = = → → . d d x y y x = y = f (x) x 为函数 在点 处的相对变化率，或弹性， 记作 ，即 函数 在点 处的弹性 反映了当自变量 变 化1%时，函数 变化的百分数为 %. y = f (x) x x f (x)
若函数Q=Q()为需求函数,则需求弹性为 o(p) 若商品的需求弹性满足: (1),>1,则称该商品的需求富有弹性, 2)n=1,则称该商品的需求具有单位弹性, (3)<1,则称该商品的需求缺乏弹性
⑵ =1， 则称该商品的需求具有单位弹性， ⑶ ＜1，则称该商品的需求缺乏弹性. p p Q = Q( p) Q'( p) Q p p = ⑴ p ＞1，则称该商品的需求富有弹性， 若函数 为需求函数，则需求弹性为 若商品的需求弹性满足：
例3某商品的需求函数为 Q=10~D 2 求(1)需求价格弹性函数, (2)当p=5时的需求价格弹性并说明其经济意义, (3)当P=-10时的需求价格弹性并说明其经济意义, (4)当P=-15时的需求价格弹性并说明其经济意义 解(①)按弹性定义: P P Q 10 P2P-20 51 (2)12(5)=5-203
例3 某商品的需求函数为 求 ⑴需求价格弹性函数， ⑵当 =5时的需求价格弹性并说明其经济意义， ⑶当 =10时的需求价格弹性并说明其经济意义， ⑷当 =15时的需求价格弹性并说明其经济意义. 解 ⑴按弹性定义： . 2 10 p Q = − p p p 20 ) 2 1 ( 2 10 ' − − = − = = P P P P Q Q p p 3 1 5 20 5 (2) (5) = − P =
由于m(5=<1,所以当P=5时,该商品的需求缺 乏弹性,此时价格上涨1%,需求量下降-% 10 7n(10 10-20 由于(00=1,所以当p=10时,该商品具有单位弹性, 此时价格上涨1%,将引起需求量下降1% m(15)=15 15-20 由于(15=31所以当P=1时,该商品是富有弹性的, 此时若价格下降1%,将导致需求量增加3%
由于 ＜1，所以当 时，该商品的需求缺 乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降 %. ⑶ 由于 所以当 该商品具有单位弹性， 此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%. ⑷ 由于 所以当 该商品是富有弹性的， 此时若价格下降1%，将导致需求量增加3%. 3 1 p (5) = 3 1 1 , 10 20 10 (10) = − − p = (10) =1 , p 3 , 15 20 15 (15) = − − p = (15) = 3 1 , p p = 5 p =10时， p =15时