第二章矩阵 §2.1矩阵及其运算 、矩阵的概念 定义2.1由m×n个数 排成m行P副列的数表,称为a个m×n矩阵记 作 2 nn
第二章 矩 阵 §2.1 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 定义2.1 由 m×n 个数 aij(i=1,2, ···,m;j=1,2, ···,n), 排成 m 行 n 列的数表，称为一个m×n 矩阵.记 作 m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1
在m×n矩阵中,从上至下依次称为第1行 至第m行,从左至右依次称为第1列至第n列a 称为第讠行第j列元素.矩阵一般用大写黑体字母 A,B,C,…表示.一个m×n矩阵可以简记为Anx或 A=(ar)mn×n 当m=1时,即只有一行的矩阵A=(a1a12…anhn 称为行矩阵,当n=1时,即只有一列的矩阵4 称为列矩阵。当m=n时,矩阵A称为阶方阵.所有 元素都为0的矩阵,称为零矩阵,记作O
在 m×n 矩阵中，从上至下依次称为第1行 至第m 行，从左至右依次称为第 1 列至第 n 列.aij 称为第 i 行第 j 列元素. 矩阵一般用大写黑体字母 A,B,C, ···表示.一个 m×n 矩阵可以简记为 Am×n或 A = (aij)m×n . 当 m=1 时,即只有一行的矩阵 称为行矩阵,当 n=1 时，即只有一列的矩阵 称为列矩阵。当 m = n 时，矩阵A称为n阶方阵.所有 元素都为0的矩阵，称为零矩阵，记作O. n n a a a = 11 12 1 1 A ( ) 1 1 21 11 m m a a a
定义2.2如果A=(a)与B=(bn都是m×n 矩阵,并且它们对应的元素相等,即 b;(i=1 则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B 二、矩阵的加法 定义23两个m行n列矩阵A=(ai)和B= (b)中对应元素相加得到的m行m列矩阵,称为矩阵 A与B的和,记作A+B,即 A+B-aimxn+cbilmxn =(ait bilmxn
定义2.2 如果 A = (aij) 与 B = (bij) 都是 m×n 矩阵，并且它们对应的元素相等，即 aij = bij (i =1,2, ···,m; j =1,2, ···,n), 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B. 二、矩阵的加法 定义2.3 两个m 行 n 列矩阵 A = (aij) 和 B = (bij) 中对应元素相加得到的 m 行 n 列矩阵，称为矩阵 A 与 B 的和，记作 A+B , 即 A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij+ bij)m×n
345 137 302 B=513 052 064,4 3+14+35+73+0 7123 A+B=2+57+14+30+6=7876 3+00+51+22+4)(3536 若把矩阵A=(ai)中各元素变号,则得到A的 负矩阵-A,即-A=(ea) 矩阵A减去矩阵B可以定义为A加上B的负 矩阵即定义 A-B=A+(-B)
= + + + + + + + + + + + + + = = = 3 5 3 6 7 8 7 6 4 7 12 3 3 0 0 5 1 2 2 4 2 5 7 1 4 3 0 6 3 1 4 3 5 7 3 0 0 5 2 4 5 1 3 6 1 3 7 0 3 0 1 2 2 7 4 0 3 4 5 3 A B A , B 若把矩阵 A = (aij) 中各元素变号，则得到 A 的 负矩阵-A, 即-A = (-aij) . 矩阵 A 减去矩阵 B 可以定义为 A 加上 B 的负 矩阵即定义 A-B = A+ (-B )
3-12 如A 222 32)(2-11 可以验证矩阵加法满足下面的运算律:设A、B、C、O 都是m×n矩阵,则有 1.A+B=B+A2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.A+O=4 4.A-A=0 定义24以数k乘矩阵A=(a)的每一个元素所得 到的矩阵,称为数k与矩阵A的积,记作kA即 k a=kai=( kail
如 − − = − − − − − − − − − = − = 1 4 1 2 2 2 2 1 1 1 0 2 1 3 2 1 2 0 1 0 4 3 1 2 1 0 4 3 1 2 A , A 可以验证矩阵加法满足下面的运算律：设A、B、C、O 都是m×n矩阵，则有 1. A + B = B+ A 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3. A + O = A 4. A-A = O 定义2.4 以数 k 乘矩阵 A = (aij) 的每一个元素所得 到的矩阵，称为数 k 与矩阵 A 的积，记作kA 即 k A= k (aij) = ( kaij)
1234 例如A=213 0562 3×13×23×33×4 36912 3A=3×23×13×33×(-4)=639-12 3×03×53×63×2)(015186 容易验证,数乘矩阵满足以下运算律: 设ABCO都是m×n矩阵,,k是数,则有 (2)k(+B)=k4+kB (3)(|+k4=4+k4(4)(1k)4=k(4)=l(k4)
例如 容易验证，数乘矩阵满足以下运算律： 设A,B,C,O 都是m×n矩阵，l, k 是数，则有 (1) 1 ·A = A (2) k(A+B) = kA+ kB (3) ( l+k)A = lA + kA (4) ( l·k)A = k(lA) = l(kA) = − − = = − 0 15 18 6 6 3 9 12 3 6 9 12 3 0 3 5 3 6 3 2 3 2 3 1 3 3 3 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 0 5 6 2 2 1 3 4 1 2 3 4 A ( ) A
、矩阵的乘法 定义25设矩阵A=(an)m×,B=(b)×n则由 元素 Ci=a,61;+ai262i ∴+a =∑ab2,(=1,2…,m,=12,…m) 所构成的m行m列矩阵C=()m1xn称为矩阵A 与B的乘积,记作 C=A·B
三、矩阵的乘法 定义2.5 设矩阵 A = (aij)m×s ,B = (bij)s×n ,则由 元素 所构成的 m 行 n 列矩阵 C = (cij)m×n 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记作 C = A · B ,( 1,2, , ; 1,2, , ) 1 1 1 2 2 a b i m j n c a b a b a b s k i k kj i j i j i j i s s j = = = = + + + =
△从定义25可以看出: 1.只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相 等时,矩阵A与B才可以相乘,否则两个矩阵不能相乘, 所以不是任何两个矩阵都可以相乘的 2.乘积AB的行数等于左边矩阵A的行数,乘积 AB的列数等于右边矩阵B的列数 3.乘积AB的第i行第j列的元素等于左边矩阵A 的第i行元素与右边矩阵B的第列的对应元素的乘积 之和
从定义 2.5 可以看出： 1. 只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B 的行数相 等时，矩阵A 与B 才可以相乘，否则两个矩阵不能相乘, 所以不是任何两个矩阵都可以相乘的. 2. 乘积 AB 的行数等于左边矩阵 A 的行数，乘积 AB 的列数等于右边矩阵 B 的列数. 3. 乘积 AB 的第 i 行第 j 列的元素等于左边矩阵A 的第 i 行元素与右边矩阵 B 的第j 列的对应元素的乘积 之和
例1已知 3-27 A B= 3-52 且A+3C=B,求C 解在A+3C=B的两边减去矩阵A 3C=B-A= 36 27(66-6
例1 已知 且 A +3C = B,求 C. 解 在 A +3C = B 的两边减去矩阵 A − = − = 3 5 2 9 4 1 , 6 4 5 3 2 7 A B − − − − = − − − = − = 3 9 3 6 6 6 6 4 5 3 2 7 3 5 2 9 4 1 3C B A
上式两边同乘以, 66-6(2 C 例2设 2303 A B 215 求AB和BA 解 03 AB=
上式两边同乘以 例2 设 求AB 和 BA 解 , 3 1 − − − − = − − − − = 1 3 1 2 2 2 3 9 3 6 6 6 3 1 C A ,B , − = = 1 0 1 3 2 0 2 1 5 1 0 3 − = 1 0 1 3 2 0 2 1 5 1 0 3 AB