02 24函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 三、微分公式与运算法则 四、微分在近似计算中的应用 1.近似计算函数的增量 2.近似计算函数值 3.几个近似公式 4.误差估计
2.4 函数的微分 02 四、微分在近似计算中的应用 1. 近似计算函数的增量 2. 近似计算函数值 3. 几个近似公式 4. 误差估计 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式与运算法则
微分的定义 1.例子正方形的金属薄片受温度的影响,其边 长由x变到x0+△x,面积增加了多少? =式 △S=(xo+△x)2-x2 xn+△r =2xn·△x+△xn),(△x)2=0(△x △S≈2xn…△x=S"lx=xn△x 线性主部 对于一般的函数,y=∫(x) 4y=A·△x+0(△x)A是不依赖于△x的常数
一、微分的定义 1. 例子 正方形的金属薄片受温度的影响，其边 x0 , x0 + x 面积增加了多少？ x0 x0 + x 2 S = x 2 0 2 0 S = (x + x) − x 2 ( ) , 2 = x0 x + x ( ) ( ) 2 x = o x S 2x0 x = S x= x x 0 | 线性主部 对于一般的函数， y = f (x) y = A x + o(x) A是不依赖于x的常数. 长由 变到
2.定义 设函数y=f(x)在x的某一邻域内有定义,若函数 的增量4=f(x+Ax)-f(x0)可表示为 △y=A△x+o(△x)其中4是不依赖于△x的常数,而 o(Ax)是比Ax高阶的无穷小则称函数y=f(x)在点 x是可微的,A△叫做函数y=f(x)在点x相应于自变量 增量Ax的微分,记做d, 即dy=A△x △y的线性主部
设函数 y=f (x)在 x0 的某一邻域内有定义，若函数 y = f (x0 + x) − f (x0 )可表示为 y = Ax + (x) (x)是比x高阶的无穷小， 增量x的微分, 记做 dy, dy = A x 2. 定义 其中A是不依赖于x的常数，而 则称函数y = f (x)在点 y 的线性主部 的增量 0 0 , ( ) x A x y f x x 是可微的 叫做函数 在点 相应于自变量 = 即
3导数与微分的关系 设函数y=∫(x)在点x可微则A=A△x+o(Ax) Ay=At o(△x) △ A= lim f(x0) △J △J △x->0△x 即f(x)在点x可导,且A=f(x0 反之,如果f(x)在点x可导,即lim f∫'(x0)存在 △x→∽0△v f(x0)+a,(当△x→0时,a为无穷小 △ 4y=∫'(x0)△x+△x 即函数=f(x)在点xn可微且dy=∫(x)Ax 结论:可导<可微dy=f(x0△x
x x A x y ( ) = + lim ( ). 0 0 f x x y A x = = → ( ) , 即f x 在点x0 可导 ( ). x0 且A = f 设函数y = f (x)在点x0 可微,则 lim ( ) , 0 0 即 f x 存在 x y x = → , ( ) , 反之 如果f x 在点x0 可导 3.导数与微分的关系 y = Ax + (x) ( ) , ( 0 , ) = 0 + 当 → 时 为无穷小 f x x x y ( ) . y = f x0 x +x ( ) . 即函数y = f x 在点x0 可微 dy = f (x )x 且 0 结论: 可导可微 dy = f (x0 )x
dx=1·△x=△x,∴称△x为自变量的微分,记作dx 于是函数y=f(x)的微分又可记做 dy=f'(xo )dx 从而右=f(x0) OX 即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的 导数因此,导数也叫“微商” 函数在任意点的微分称为函数的微分记做d或 df(x,即dy=f(x)dx f∫"(x)
即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的 导数.因此, 导数也叫“微商”. d f (x),即 dy = f (x)dx 函数在任意点的微分,称为函数的微分,记做 dy 或 ( ) x0 f x y = d d 从而有 于是函数y=f (x) 的微分又可记做 dy = f (x0 )dx dx = 1 x = x, 称x为自变量的微分, 记作 dx f (x). x y = d d
例1求函数p=x2在x=1和x=3处的微分。 解在x=处d1=(x2)y1x1Ax=2△r 在x=3处 (x2)y|=3△x=6△x 例2求y=x3在x=2,当Ax=002时的微分 解:=(x:)ax=3x2dx .当=2,Nx=dx=0.02时的微分 dylx=2.=3x2△x|=2=3×2×0.02=024 △x=0.02 △x=0.02
例 2 求 y = x 3 在 x = 2,当 x = 0.02时的微分 ( ) 3 . 3 2 dy = x dx = x dx 当x = 2,x = dx = 0.02时的微分 3 3 2 0.02 0.24. 2 0.02 2 2 0.02 2 = = = == = d = xx x y x x x 求函数 y = x 2 在 x = 1 和 x = 3处的微分。 在 x = 3 处 ( ) | 6 . 3 2 dy x = 3 = x x = x = x 解例1 ( ) | 2 ; 1 2 在 x = 1 处 dy x = 1 = x x = x = x 解
微分的几何意义 如图,对某一给定的x,线f(x)上对应点M(x0, 当自变量x有微小增量△x 时,就得到曲线上另一点 Nxo+Ax, yo+ Ay 过点M作切线M,倾角为a则y=/(x) △x △ tan a=△xf(xn)=dy +△xx 函数y=f(x)在x的微分就是曲线的切线的纵坐标的增量 “以直代曲
二、 微分的几何意义 ( , ) 0 0 N x + x y + y 过点 M 作切线 MT, 倾角为, 则 时, 就得到曲线上另一点 当自变量 x 有微小增量 x 如图, , ( ) ( , ), 0 0 0 对某一给定的 x 曲线 f x 上对应点M x y y = f (x) P y T N x x + x 0 Q M dy 0 x x y o tan ( ) x0 x = x f = dy ( ) . 函 数 y = f x 在x0 的微分就是曲线的切线的纵坐标的增量 y dy “以直代曲
、微分公式与运算法则 1.基本初等函数的微分公式 (l)d(C)=0 X ux (3)d(sin x)=cos xdx, (4)d(cos x) =-sin xdx (5)d(tan x)=sec xdx (6)d(cot x) =-cSc2 xdx
1. 基本初等函数的微分公式 (1) d 0, (C) = ( ) 1 (2) d d , x x x − = (3) d sin cos d , ( x x x ) = x x x (4) d cos sin d , ( ) = − 三、微分公式与运算法则 ( ) 2 (5) d tan sec d , x x x = ( ) 2 (6) d cot csc d , x x x = −
(7)d(secx)=sec x tan xdx, 8)d(esc x)== cot xd (9)d(a)=a'lnadx, (10)d(e=edx, (11)d(loga x) XIna (12)d(nx)
(7) d sec sec tan d , ( x x x x ) = (8) d csc csc cot d , ( x x x x ) = − (9) d ln d , ( ) x x a a a x = (10) d e e d , ( ) x x = x ( ) 1 (11) d log d , ln a x x x a = ( ) 1 x x (12) d ln d , x =
(13)d(arcsinx) x 14)d(arccos x 15)d(arctan x) 1+x (16)d(arccot x) 1+x (17)d(√x) 2√x (18)d(-) x
( ) 2 1 (13) d arcsin d , 1 x x x = − ( ) 2 1 (14) d arccos d , 1 x x x = − − ( ) 2 1 (15) d arctan d , 1 x x x = + ( ) 2 1 (16) d arccot d , 1 x x x = − + 1 (17) d( ) d , 2 x x x = 2 1 1 (18) d( ) d . x x x = −