33函数的单调性 个函数在某个区间内单调增减的变化规律,是我们 研究函数图形时首先要考虑的,在第一章我们已经给出了 函数在某个区间内单调增减性的定义,本节介绍用函数的 导数讨论函数的单调性的方法 B y=f(x) y B 图3-3 图3-4
3.3 函数的单调性 一个函数在某个区间内单调增减的变化规律，是我们 研究函数图形时首先要考虑的，在第一章我们已经给出了 函数在某个区间内单调增减性的定义，本节介绍用函数的 导数讨论函数的单调性的方法. A B
先从几何直观分析,考察图3-3,函数f(x)在区间 (a,b)上所对应的曲线AB上的任意一点处的切线与Ox >0,从而函数在对应点处的导数f(x)>0,此时A2 轴正向的夹角a均为锐角,所以其正切值大于零,即tan 条沿O轴正向上升的曲线,那么函数f(x)在(a,b)内是单 调增加的相反地,图3-4中函数f(x)在(a,b)上所对应的 曲线弧AB上每一点处的切线与Oc轴正向的夹角a均为钝 角,所以其正切值小于零,即tana<0,从而函数在对应 点处的导数f(x)<0,此时的曲线弧AB是一条沿Ox轴正向 下降的曲线,那么函数f(x)在区间(a,b)内是单调减少 的.一般地,有判别定理:
先从几何直观分析 ，考察图3-3， 函数 在区间 （ ）上所对应的曲线 上的任意一点处的切线与 轴正向的夹角 均为锐角，所以其正切值大于零，即 tan ＞0, 从而函数在对应点处的导数 ＞0，此时弧 是一 条沿 轴正向上升的曲线，那么函数 在（ ）内是单 调增加的.相反地，图3-4中函数 在 上所对应的 曲线弧 上每一点处的切线与 轴正向的夹角 均为钝 角，所以其正切值小于零，即tan ＜0，从而函数在对应 点处的导数 ＜0，此时的曲线弧 是一条沿 轴正向 下降的曲线，那么函数 在区间（ ）内是单调减少 f (x) a,b AB Ox Ox f (x) f '(x) a,b (a,b) Ox f (x) f '(x) f (x) a,b 的.一般地，有判别定理： OxAB AB AB
定理36设函数f(x)在区间(a,b)内可导, (1)如果在(a,b)内,f"(x>0,那么函数f(x)在(a,b) 内单调增加, (2)如果在(a,b)内,(x)0,那么函数f(x)在(a,b 内单调减少 证()Vx10,f"(2)>0,有f(x2)-f(x)>0 则有 f(x2)>f(x1)(x1<x2) 由定义可知,f(x)在(an,b)内单调增加同理可证(2)
定理3.6 设函数 在区间（ ）内可导， ⑴如果在（ ）内， ＞0，那么函数 在（ ） 内单调增加， ⑵如果在 内， ＜0,那么函数 在（ ） 内单调减少. 证 ⑴ ＜ ，且 ，由于 在 （ ）内可导，所以 在[ ]上连续，在（ ） 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，因此有 f (x) a,b a,b f '(x) f (x) a,b (a,b) f '(x) f (x) a,b 1 x 2 x , ( , ) x1 x2 a b a,b f (x) f (x) 1 2 x , x 1 2 x , x 因为 ＞ 0， ＞0，有 ＞0. 则有 由定义可知， 在 内单调增加.同理可证⑵. ( ) ( ) '( )( ) ( ) , 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f x − x x x 2 1 x − x f '( ) ( ) ( ) 2 1 f x − f x ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 f x f x x x f (x) (a,b)
例1求函数f(x)=x+x的单调区间 解由于f(x)=3x2+1>0x∈(-∞,+∞), 因此f(x)在(-∞+∞)内是单调增加的,如图3-5 20 0 图3-5 2 10
例1 求函数 = 的单调区间. 解 由于 ＞0 ， 因此 在（ ）内是单调增加的，如图 . f (x) x + x 3 '( ) 3 1 2 f x = x + x (−,+) f (x) −,+ 3− 5 图3-5
例2求函数fx)=x-e的单调区间 解由于∫(x)=1-e,令∫(x)=0,即1-e=0, 得x=0列表3-1讨论如下: x (0,+∞) 0 表3-1 f(x) 所以函数在(-∞,0)内单调增加,在(0,+∞)内单调 减少,如图3-6 图3-6
x (−,0) (0,+) f '(x) f (x) 0 + 0 — ↗ ↘ 所以函数在（ ）内单调增加，在（ ）内单调 减少，如图3-6. − ,0 0,+ 图3-6 表3-1 例2 求函数 的单调区间. 解 由于 ，令 ，即 = 0， 得 .列表3-1讨论如下： x f (x) = x − e '( ) 1 ex f x = − f '(x) = 0 x = 0 x 1− e
例3求函数f(x)=(x-5)V(x+)2的单调区间 解函数f(x)=(x-5)2(x+1)的定义域为(-∞,+∞) ∫(x)=2(x-5) (x+1)2+(x-5) 3x+1 2(x-5(3x+3+x-5) 3√x+1 4(2x-1)(x-5) 3√x+1 令f(x)=0,得x1=,x2=5,函数的不可导点 为x=-1,它们将定义域分成四个区间, 列表32讨论如下:
2 3 2 f (x) = (x −5) (x+) 2 3 2 f (x) = (x −5) (x +1) (−,+), 3 3 2 2 3 1 2 '( ) 2( 5) ( 1) ( 5) + = − + + − x f x x x x 3 3 1 2( 5)(3 3 5) + − + + − = x x x x 3 3 1 4(2 1)( 5) + − − = x x x f '(x) = 0, , 5, 2 1 x1 = x2 = x = −1 例3 求函数 的单调区间. 解 函数 的定义域为 ，它们将定义域分成四个区间， 令 得 函数的不可导点 为 列表3-2讨论如下：
表3-2 x(-∞-1) 5)5(5,+∞) f"(x) 无定义 f(x) 由表可看出,函数f(x)在(-∞,-1),(2,5)内单调 减少,在(-1,,),(5,+∞)内单调增加,如图3-7
f '(x) -1 (-1, ) ( ,5) 5 - 无定义 + 0 - 0 + f (x) ↘ ↗ ↘ ↗ 2 1 2 1 2 1 x (−,−1) (5,+) 由表可看出，函数 在（ ），（ ，5）内单调 减少，在（-1， ），（5，+ ）内单调增加，如图3-7. f (x) − ,−1 2 1 2 1 表3-2
25 图3-7
图3-7
例4求函数f(x)=(1-x)(3x-2)的单调区间 解函数∫(x)=(1-x)(3x-2)2的定义域为(-∞,+∞), f(x)=-3(1-x)2(3x-2)+6(1-x)(3x-2) 3(1-x)2(3x-2)4-5x) 令f(x)=0,≈又 它们将定义域分成四个区间,列表3-3讨论如下
例4 求函数 的单调区间. 解 函数 的定义域为（ ）， 3 2 f (x) = (1− x) (3x − 2) 3 2 f (x) = (1− x) (3x − 2) −,+ '( ) 3(1 ) (3 2) 6(1 ) (3 2) 2 2 3 f x = − − x x − + − x x − (1 ) (3 2)(4 5 ) 2 =3 − x x − − x 令 得 ， 它们将定义域分成四个区间，列表3-3讨论如下： f '(x) = 0, , 1 5 4 , 3 2 x1 = x2 = x3 =
表33 2-30 35 4-50 0 f(x) x 由表可见在(-∞,),(2+)内函数单调减少,在()函 数单调增加,如图3-8
x ) 3 2 (−, 3 2 5 4 , 3 2 5 4 5 4 f '(x) f (x) ( ) ( ,1) 1 (1,+ ) - 0 + 0 - 0 - ↘ ↗ ↘ ↘ 由表可见在 ， 内函数单调减少，在( )内函 数单调增加，如图3-8. ) 3 2 (−, , ) 5 4 ( + 5 4 , 3 2 表3-3