前言 近几年来,学生反映虽然外面的参考书越来越多,但是都不太合适,具体来说跟我们的 授课不太协调,基于这种情况,我们编写了这本辅助教材,便于学生更好的学习高等数学。 这本书是由高数组老师共同参与编写的,支丽霞编写第一章:杨丽娜编写第二章由:穆 铮编写第三章;王玉凤编写第四和第五章;第六章和第十章由刘奋编写;李晓童编写第七章 第八章和第九章由陆晓光编写:第十一章由陈安乐编写:第十二章由刘福江编写,在这里感 谢他们的辛勤劳动 由于我们的水平有限,错误之处在所难免,敬请大家批评指正 数理系教研室高数组 2005-7-1
前 言 近几年来，学生反映虽然外面的参考书越来越多，但是都不太合适，具体来说跟我们的 授课不太协调，基于这种情况，我们编写了这本辅助教材，便于学生更好的学习高等数学。 这本书是由高数组老师共同参与编写的，支丽霞编写第一章；杨丽娜编写第二章由；穆 铮编写第三章；王玉凤编写第四和第五章；第六章和第十章由刘奋编写；李晓童编写第七章； 第八章和第九章由陆晓光编写；第十一章由陈安乐编写；第十二章由刘福江编写，在这里感 谢他们的辛勤劳动。 由于我们的水平有限，错误之处在所难免，敬请大家批评指正。 数理系教研室高数组 2005-7-1
章函数与极限 第一章函数与极限 基本要求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法 2.了解函数的奇偶性,单调性,周期性和有界性 3.理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 4.掌握基本初等函数的性质及其图形 5.会建立简单应用问题中的函数关系式 6.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念,以及极限存在与左右极限的之间的关系 7.掌握极限的性质及四则运算法则 8.掌握极限存在的两个准则,并会利用他们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 9.理解无穷大以及无穷小的概念,回用等价无穷小求极限 10.理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型 11.解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,介值定理), 并会应用这些性质 二.主要内容 本章内容总框图 定义 初等、函数的连续性 映射 定义(定义域、值域、对应关系) 连续 连续函数的运算 性质(有界、单调、奇偶、周期) 函数 间断 闭区间上连续函数的性质 基本初等函数 函数与复合函数 x→>∞函数fx)→A 几何意义 E-8定义x→)x0f(x)→>A 数列极限的e一N定义 有关数列极限的定理 极限性质及 运算法则 无穷小量的比较 无穷小量与无穷大量 极限存在法则 两个重要极限
第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 一． 基本要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法 2． 了解函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性 3． 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形 5． 会建立简单应用问题中的函数关系式 6． 理解极限的概念，理解函数左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的之间的关系 7． 掌握极限的性质及四则运算法则 8． 掌握极限存在的两个准则，并会利用他们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 9． 理解无穷大以及无穷小的概念，回用等价无穷小求极限 10. 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型 11．解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，介值定理）， 并会应用这些性质 二． 主要内容 本章内容总框图 映射 定义 函数 反函数与复合函数 极限存在法则 两个重要极限 定义 极限性质及 运算法则 ε—M 定义 x→ ∞函数 f(x)→ A ε—δ定义 x → x0 f(x)→ A 数列极限的ε—N 定义 有关数列极限的定理 无穷小量与无穷大量 几何意义 极限 无穷小量的比较 定义（定义域、值域、对应关系） 连续 连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质 初等、函数的连续性 间断 基本初等函数 性质（有界、单调、奇偶、周期） 1
章函数与极限 1.函数 1.函数的定义 函数的分类 有理整函数(多项式函数) 有理函数 代数函数 有理分函数(分式函数) 无理函数 初等函数 函数 超越函数 非初等函数(分段函数 2.函数的性质 (1)函数的有界性 (2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性 (4)函数的周期性 3.反函数 4.复合函数 5.基本初等函数 (1)幂函数y=x“(是常数) (2)指数函数y=a2(a>0,a≠1) (3)对数函数y=log(a>0,a≠1) (4)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx (5)反三角函数y= arctan x,y= arccot x 6.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子 表示的函数 7.双曲函数与反双曲函数 双曲正弦sh 双曲余弦chx= e +e 双曲正切 thrs shx e2-ex e"+e 2.极限 1.极限的定义 “c一N”定义 定义1VE>0,三N>0,使n>N时,恒有|xn-a<E,记为lmxn=a或xn→a(n→∞)
第一章 函数与极限 1. 函数 1. 函数的定义 函数的分类 有理整函数（多项式函数） 有理函数 代数函数 有理分函数（分式函数） 无理函数 初等函数 函数 超越函数 非初等函数（分段函数） 2. 函数的性质 (1) 函数的有界性 (2) 函数的单调性 (3) 函数的奇偶性 (4) 函数的周期性 3. 反函数 4. 复合函数 5. 基本初等函数 (1) 幂函数 (μ是常数) µ y = x (2) 指数函数 y = a ( ) a > 0,a ≠1 x (3) 对数函数 y = log ( ) a > 0,a ≠1 x a (4) 三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x (5) 反三角函数 y = arctan x, y = arccot x 6. 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个 式子 表示的函数 7. 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦 shx= 2 x x e e− − 双曲余弦 chx= 2 x x e e− + 双曲正切 thx= chx shx = x x x x e e e e − + − 2． 极限 1．极限的定义 “ε— N”定义 定义 1 ∀ε > 0 ,∃N > 0 ,使 n>N 时，恒有| xn − a |<ε ，记为 x a n n = →∞ lim 或 xn → a （ n → ∞） 2
章函数与极限 “E-δ”定义 定义2VE>0,36>0,使当04x-x0k时,恒有(x)-A0,彐>0,使当x0-60,彐δ>0,使当x<x<x+时,恒有f(x)-4kE,记为limf(x)=A或 f(x0)=A 定理:limf(x)=A分f(x)=f(x0)=A 2.无穷小与无穷大 无穷小:极限为零的变量称为无穷小,记作limf(x)=0(或limf(x)=0) 无穷大:绝对值无限增大的变量称为无穷大,记作limf(x)=∞(或lim∫(x)=∞) 无穷小与无穷大的关系 在同一个极限过程中,无穷大的倒数为无穷小:恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小的运算性质 定理1在同一极限过程中,有限个无穷小的代数和仍为无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 3.极限的性质 定理设imf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim[f(x)±g(x)=A±B (2)lim[f(x)·g(x)=A·B (3) lim 其中B≠0 推论1如果Iimf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)= clim f(x) 推论2如果Iimf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)”=[limf(x) 4.求极限的常用办法 (1)用定义求之
第一章 函数与极限 “ε −δ ”定义 定义 2 ∀ε > 0，∃δ > 0 ，使当0 0，∃δ > 0 ，使当 0 0 x −δ 0，∃δ > 0 ，使当 x0 < x < x0 +δ 时，恒有| f (x) − A |< ε ，记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 或 f x = A + ( ) 0 定理： f x A f x f x A x x = ⇔ = = + − → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2．无穷小与无穷大 无穷小：极限为零的变量称为无穷小，记作 lim ( ) 0 0 = → f x x x （或lim ( ) = 0 →∞ f x x ） 无穷大：绝对值无限增大的变量称为无穷大，记作 = ∞ → lim ( ) 0 f x x x （或 = ∞ ） →∞ lim f (x) x 无穷小与无穷大的关系 在同一个极限过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小的运算性质 定理 1 在同一极限过程中，有限个无穷小的代数和仍为无穷小 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论 1 在同一极限过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 3．极限的性质 定理 设lim f (x) = A ，lim g(x) = B ，则 （1）lim[ f (x) ± g(x)] = A ± B （2）lim[ f (x)⋅ g(x)] = A⋅B （3） B A g x f x = ( ) ( ) lim ，其中 B ≠ 0 推论 1 如果lim f (x) 存在，而 c 为常数，则lim[cf (x)] = c lim f (x) 推论 2 如果lim f (x) 存在，而 n 是正整数，则 n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] 4．求极限的常用办法 （1）用定义求之 3
章函数与极限 (2)利用极限的四则运算法则 (3)利用无穷小的运算性质求之 (4)利用左右极限求分段函数极限 (5)利用极限存在的两个准则求极限 (6)利用两个重要极限求极限 (7)利用等价无穷小代换求极限 (7)利用初等函数的连续性求极限 5.判定极限存在的准则 准则I如果当x∈U°(x0,y)(或|x卜M)时,有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x) (2) lim g(x)=A, lim h(x)=A 则limf(x)存在,且等于A (夹逼准则 准则Ⅱ单调有界数列必有极限 6.两个重要极限 (1) lim- SIn x (2)lim(1+-)2=e或lm(1+x)x=e 7.无穷小的比较 定义:设a,B是同一极限过程中的两个无穷小,且a≠0 (1)如果lim==0,就说β是比a高阶的无穷小,记作B=o(a) (2)如果im2=C(C≠0),就说B与a是同阶的无穷小 特殊的如果1im2=1,则称B与a是等阶的无穷小,记作a~B (3)如果lmB 8.价=C(C≠0.K>0),就说B是a的K阶无穷小 穷小的性质 定理(等价无穷小替换定理):设a~a,B~B且ImB存在,则m2=imnB 极限的性质 唯一性 (2)有界性 (3)保号性 (4)函数极限与数列极限的关系(与数列极限和其子列的极限的关系类似) 10.连续 1连续的定义 定义1若limy=0或lim[f(x0+△x)-f(x0)=0则称函数y=f(x)在点x连续
第一章 函数与极限 （2）利用极限的四则运算法则 （3）利用无穷小的运算性质求之 （4）利用左右极限求分段函数极限 （5）利用极限存在的两个准则求极限 （6）利用两个重要极限求极限 （7）利用等价无穷小代换求极限 （7）利用初等函数的连续性求极限 5．判定极限存在的准则 准则Ⅰ 如果当 x∈U 0 (x0 ,γ )（或| x |> M ）时，有 （1） g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) （2） g x A x x x = → →∞ lim ( ) ( ) 0 ， h x A x x x = → →∞ lim ( ) ( ) 0 ) 则 lim ( )存在，且等于 A （夹逼准则） ( ) 0 0 f x x→x x→x 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 6．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0 = → x x x （2） e x x x + = →∞ ) 1 lim(1 或 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 7．无穷小的比较 定义：设α ， β 是同一极限过程中的两个无穷小，且α ≠ 0 （1）如果lim = 0 β α ，就说 β 是比α 高阶的无穷小，记作 β = ο(α) （2）如果lim = C(C ≠ 0) α β ，就说 β 与α 是同阶的无穷小 特殊的如果lim =1 α β ，则称 β 与α 是等阶的无穷小，记作α ~ β （3）如果lim = C(C ≠ 0,K > 0) k α β ，就说 β 是α 的 K 阶无穷小 8．等价无穷小的性质 定理（等价无穷小替换定理）：设α ~ α',β ~ β '且 ' ' lim α β 存在，则 ' ' lim lim α β α β = 9．极限的性质 （1）唯一性 （2）有界性 （3）保号性 （4）函数极限与数列极限的关系（与数列极限和其子列的极限的关系类似） 10．连续 1.连续的定义 定义 1 若 lim 0 0 ∆ = ∆ → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + ∆ − = ∆ → f x x f x x 则称函数 y = f (x) 在点 x0 连续 4
章函数与极限 定义2若Iimf(x)=f(x。),则称函数y=f(x)在点x0连续 定义3VE>0,30>0,当|x-x0kd时,有f(x)-f(x0)kE,则称函数y=f(x)在点x 连续 1)单侧连续 若函数∫(x)在(a,x]内有定义,且∫(x)=f(x0),则称∫(x)在x0处左连续 若函数f(x)在[x0,b)内有定义,且∫(x)=f(x),则称f(x)在x0处右连续 2)连续的充要条件 定理f(x)在x处连续分∫(x)在x处既左连续又右连续 3)间断点的定义 函数f(x)在点x0处连续必须满足的三个条件 (1)f(x)在x。处有定义(2)Iimf(x)存在(3)limf(x)=f(x0) 如果上述三个条件中只要一个不满足,则称函数∫(x)在点x0处不连续(或间断),并称点x为 f(x)的不连续点(或间断点) 4)间断点的分类 第一间断点 /)在何可去间断点/)= 间断点 跳跃间断点( 第二间断点:无穷间断点振荡间断点等 ((n)/x座少有一个不存在) 5)闭区间的连续性 如果函数在开区间内(ab)连续,并且在左端点x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函 数∫(x)在区间{ab]上连续 6)连续函数的运算性质 定理1若函数f(x),8(x)在点x处连续,则f(x)+g(x),f(x)8(x),f(x(g(x)≠0) 在点x处也连续 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的反函数 定理3若Iimp(x)=a,而函数f(x)在点a连续,则有limf[o(x)]=f(a)=f(lim(x))
第一章 函数与极限 定义 2 若 lim ( ) ( ) ，则称函数 0 o x x f x = f x → y = f (x) 在点 x0 连续 定义 3 ∀ε > 0,∃δ > 0 ，当| x − x0 |< δ 时，有| ( ) − ( )|< ε 0 f x f x ，则称函数 在点 连续 y = f (x) 0 x 1） 单侧连续 若函数 f (x) 在(a, x0 ]内有定义，且 f (x0 − ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 处左连续 若函数 f (x) 在[x0 ,b) 内有定义，且 f (x0 + ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 处右连续 2） 连续的充要条件 定理 f (x) 在 x0 处连续⇔ f (x) 在 x0 处既左连续又右连续 3） 间断点的定义 函数 f (x) 在点 x0 处连续必须满足的三个条件： （1） f (x) 在 x0 处有定义 （2） lim ( )存在 （3） 0 f x x→x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 如果上述三个条件中只要一个不满足，则称函数 在点 处不连续（或间断），并称点 为 的不连续点（或间断点） f (x) 0 x 0 x f (x) 4）间断点的分类 间断点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = + − + − + − + − ( , ) : , ( ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 至少有一个不存在 第二间断点 无穷间断点 振荡间断点等 跳跃间断点 可去间断点 存在 第一间断点 f x f x f x f x f x f x f x f x 5） 闭区间的连续性 如果函数在开区间内（a,b）连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函 数 f (x) 在区间[a,b]上连续 6） 连续函数的运算性质 定理 1 若函数 f (x) ，g(x) 在点 x0 处连续，则 f (x) ± g(x) ，f (x)⋅ g(x) ， ( ) ( ) g x f x （ g(x0 ) ≠ 0 ） 在点 x0 处也连续 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的反函数 定理 3 若 x a x x = → lim ( ) 0 ϕ ，而函数 f (x) 在点 a 连续，则有 lim [ ( )] ( ) (lim ( )) 0 0 f x f a f x x x x x ϕ ϕ → → = = 5
章函数与极限 定理4设函数a=(x)在点x=x连续,且(x0)=0,而函数y=f(un)在点u=连续,则 复合函数y=「[(x)在点x=x0也连续 7)初等函数的连续性 定理1基本初等函数在定义域内是连续的 定理2一切初等函数在其定义区间内都是连续的 8)闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理3(零点定理)设函数∫(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)与∫(b)异号(即f(a)·f(b)<0), 那么在开区间(ab)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点5(a<5<b),使f()=0 定理4(介值定理)设函数∫(x)在闭区间[ab上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(ab)内至少有一点5, 使得∫(5)=c(a<5<b) 推论在区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值 三.例题分析 1.函数的定义和性质 类型一函数相等的判断 例1.判断下列函数是否相等,如不等,为什么? (1)f(x)=1n1=x g(x)=ln(1-x)-(1+x) (2)f(x)=x,g(x)= 解题提示]:当且仅当给定的两个函数,其定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数,否 则就是两个不同的函数 解:(1)由于∫(x)和g(x)的定义域均为(-1,1)且对应法则也相同,故∫(x)=g(x) (2)由于f(x)=x,而g(x)=√x2=x|,故两者的对应法则不同,所以f(x)≠g(x) 类型二求函数的定义域 例2.设y=f(x)的定义域是[0,1,求 (1)y=∫(sgnx),其中sgnx为符号函数。即 0 sonx X<
第一章 函数与极限 定理 4 设函数u = ϕ(x) 在点 x = x0 连续，且 0 0 ϕ(x ) = u ，而函数 y = f (u) 在点 连续，则 复合函数 u = u0 y = f [ϕ(x)] 在点 x = x0 也连续 7） 初等函数的连续性 定理 1 基本初等函数在定义域内是连续的 定理 2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 8） 闭区间上连续函数的性质 定理 1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理 3（零点定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号（即 f (a)⋅ f (b) = 1 0 0 0 1 0 sgn x x x x 6
章函数与极限 (2)y=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域 解题提示]:求复合函数的定义域,要注意内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内 解:(1)易知当x≥0时,sgnx的值域包含在[0,1,故y=f(sgnx)的定义域为[0,+∞) (2)函数∫(x+a)的定义域由不等式0≤x+a≤1解得-a≤x≤1-a,函数∫(x-a)的定义 域由不等式0≤x-a≤1解得a≤x≤a+1 若00)的定义域为[a1-al 1 若a>,则1_0〃数f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为为空集 类型三求复合函数和反函数 xsl 例3.设f(x)={1 xA>18()hx,求复合函数的解析式 f(8g(x)和g(f(x) [解题提示]:求复合函数一般采用代入法,即把一个函数的表达式代替另一个函数中的自变量 解:先研究g(x)=lnx的值域与定义域的关系 当x>e时,lnx>1;当0e或0<x<e In' In 0<nx≤1 同理可得g((x)=lnf(x)= In x2 Inx <X< 例.求f(x)={x21≤x≤2的反函数 ln2x2<x≤4 解题提示]:求反函数的一般步骤为(1)把x从方程y=∫(x)中解出;(2)把第一步所得表达式 中的x与y对换,即得反函数 解:求分段函数的反函数,只要分别求出个区间段的反函数及定义域即可
第一章 函数与极限 （2） y = f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域 [解题提示]：求复合函数的定义域，要注意内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内 解： （1）易知当 x ≥ 0时，sgn x 的值域包含在[0，1]，故 y = f (sgn x) 的定义域为[0,+∞) （2）函数 f (x + a) 的定义域由不等式0 ≤ x + a ≤ 1解得 − a ≤ x ≤ 1− a ，函数 的定义 域由不等式 解得 f (x − a) 0 ≤ x − a ≤ 1 a ≤ x ≤ a +1 若 2 1 0 0) 的定义域为[a,1− a]； 若 2 1 a > ，则 2 1 1− a 0) 的定义域为为空集 类型三 求复合函数和反函数 例 3．设 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 1 1 1 2 2 x x x x f x ， g(x) = ln x ，求复合函数的解析式 f (g(x)) 和 g( f (x)) [解题提示]：求复合函数一般采用代入法，即把一个函数的表达式代替另一个函数中的自变量 解： 先研究 g(x) = ln x 的值域与定义域的关系 当 x > e 时，ln x > 1；当 时， 1 0 − < ≤ = = ln ln 1 ln 0 ln 1 ( ( )) ln ( ) 2 2 x x x x g f x f x 例 4．求 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ ≤ − < < = 2 4 ln 1 1 2 2 1 ( ) 2 2 x x x x x x f x 的反函数 [解题提示]：求反函数的一般步骤为（1）把 x 从方程 y = f (x)中解出；（2）把第一步所得表达式 中的 x 与 y 对换，即得反函数 解： 求分段函数的反函数，只要分别求出个区间段的反函数及定义域即可 7
章函数与极限 由y=x,-20) (2)y=F(x)+)其中a>0,a≠1,F(x)对于任何x,y恒有F(x+y)=F(x)+F(y) 解题提示 ①判断给定函数的奇偶性,主要是根据奇偶性的定义,有时也用其运算性质 ②函数的奇偶性是相对于对称区间而言的,若定义域关于原点不对称,则该函数就不具有奇偶性 ⑥奇偶函数的运算性质: 10奇函数的代数和仍为奇函数:偶函数的代数和仍为偶函数 20偶数个奇(或偶)函数的积为偶函数 30一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数 ④并非所有的函数都有奇偶性 解:1)f(x)定义域为x>0,不关于原点对称,故函数无奇偶性 2)令g(x)=一 则g(x)+g( x)= ×人 0∴g( g(x),g(x 为奇函数,又令y=0,则F(x+0)=F(x)+F(0),再令x=0,则F(0)=2F(0)∴F(0)=0, 又F(0)=F[x+(-x)]=F(x)+F(-x)=0→F(-x)=-F(x)故F(x)为奇函数,所以 y=F(x)o )为偶函数 例6.当x∈[0,z]时,f(x)≠0且f(x+x)=∫(x)+inx则在(-∞,+∞)内∫(x)是() (a)以丌为周期的函数 (b)以2x为周期的函数 (c)以3丌为周期的函数 (d)不是周期函数 [解题提示]:
第一章 函数与极限 由 y = x ， − 2 0） （2） ) 2 1 1 1 ( )( + − = x a y F x 其中 a > 0 ，a ≠ 1，F(x)对于任何 x, y 恒有 F(x + y) = F(x) + F(y) [解题提示]： ○1 判断给定函数的奇偶性，主要是根据奇偶性的定义，有时也用其运算性质 ○2 函数的奇偶性是相对于对称区间而言的，若定义域关于原点不对称，则该函数就不具有奇偶性 ○3 奇偶函数的运算性质： 0 1 奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数 0 2 偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数 0 3 一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数 ○4 并非所有的函数都有奇偶性 解： 1） f (x) 定义域为 x > 0，不关于原点对称，故函数无奇偶性 2）令 2 1 1 1 ( ) + − = x a g x 则 0 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) + = − + + − + − = x x x a a a g x g x ∴ g(−x) = −g(x), g(x) 为奇函数，又令 y = 0，则 F(x + 0) = F(x) + F(0)，再令 x = 0，则 F(0) = 2F(0) ∴F(0) = 0， 又 F(0) = F[x + (−x)] = F(x) + F(−x) = 0 ⇒ F(−x) = − F(x)故 F(x)为奇函数，所以 ) 2 1 1 1 ( )( + − = x a y F x 为偶函数 例 6．当 x ∈[0,π ]时， f (x) ≠ 0 且 f (x +π ) = f (x) + sin x 则在(−∞,+∞) 内 f (x) 是（ ） （a）以π 为周期的函数 （b）以2π 为周期的函数 （c）以3π 为周期的函数 （d）不是周期函数 [解题提示]： 8
①判断给定的函数∫(x)是否为周期函数,主要是根据周期的定义,有时也用其运算性质 Q周期函数的运算性质: 1°若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为 2f(x),g(x)均是以T为周期的函数则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数 3°若f(x),g(x)分别是以T1,2(T≠T2)为周期的函数,则f(x)±g(x)是以T,T2的最小 公倍数为周期的函数 解:有题设条件f(x+丌)≠f(x),所以(a)不入选 f(x+2丌)=f(x+丌)+z]=f(x+丌)+sin(x+x)=[f(x)+snx]-sinx=f(x) f(x)是以2丌为周期的函数,故选(b) 例7.指出下列函数是否有界? (1) ,a≤x≤1,其中00,取x=(2[m]+1)x(其中[m]表示m的整数部分),则cosx=-1此时 f(x)H2([m]+1)x:cos(2[m]+1)z=2(m]+1)r>m故当x∈(-∞.+∞)时y= x cosx无界 2.极限的概念,性质与计算 类型五利用数列极限的定义证明极限 例8.用 的方法证明lin
第一章 函数与极限 ○1 判断给定的函数 f (x) 是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质 ○2 周期函数的运算性质： 0 1 若 T 为 f (x) 的周期，则 f (ax + b)的周期为 | a | T 0 2 f (x) ， g(x) 均是以 T 为周期的函数则 f (x) ± g(x)也是以 T 为周期的函数 0 3 若 f (x) ，g(x) 分别是以 , ( ) T1 T2 T1 ≠ T2 为周期的函数，则 f (x) ± g(x) 是以 的最小 公倍数为周期的函数 1 2 T ,T 解： 有题设条件 f (x +π ) ≠ f (x) ，所以(a)不入选 ∵ f (x + 2π) = f[(x + π) + π ] = f (x + π ) + sin(x + π) = [ f (x) + sin x] − sin x = f (x) ∴ f (x) 是以 2π 为周期的函数，故选(b) 例 7．指出下列函数是否有界？ （1） , 1 1 2 = a ≤ x ≤ x y ，其中0 0 ， 取 x = (2[m] +1)π （其中 [m] 表 示 m 的 整 数 部分）， 则 cos x = −1 此 时 | f (x) |=| 2([m] +1)π ⋅ cos(2[m] +1)π |= 2([m] +1)π > m 故当 x ∈(−∞.+ ∞) 时 y = x cos x 无界 2．极限的概念，性质与计算 类型五 利用数列极限的定义证明极限 例 8．用“ε − N ”的方法证明 0 3 lim 2 = n − n 9