第三章微分中值定理 第一节中值定理 、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结思考题
第三章 微分中值定理 第一节 中值定理 一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结 思考题
罗尔(Role)定理 罗尔(Rol定理如果函数f(x在区间a,b 上连续在开区间(a,b)内可导且在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 ξ(a<ξ<b),使得函数∫(x)在该点的导数等于零, 即f(ξ)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且∫(-1)=f(3)=0, ∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)∫(2)=0
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释: C y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 2 物理解释 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零 点击图片任意处播放皙停
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∵∫(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M 由此得∫(x)=0.V∈(a,b),都有∫'()=0 (2)若M≠m.∵f(a)=∫(b, 最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a) 则在(a,b)内至少存在一点使f(4)=M ∫(ξ+△x)≤∫(5),∴∫(ξ+△x)-∫(ξ)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若Ax>0,则有 f∫(ξ+△x)-∫(ξ ≤0; △r 若Ax+0 △v ∫'()=f(64).∴只有f(2)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-2,2 在[-2,2上除f(0)不存在外满足罗尔定理 的一切条件,但在区间[-2,2内找不到一点能 使∫(x)=0 1-x,x∈(0,1 又例如,y=10,x=0 y=x,x∈[0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证设f(x)=x3-5x+1,则∫(x)在0,1连续, 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理 彐xo∈(0,1使∫(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使∫(x1)=0. f(x)在x0,x之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x,x1之间,使得∫"()=0 但∫'(x)=5(x4-1)<0、(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
二、拉格朗日( Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数fx)在 闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点ξ(<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=∫(b 结论亦可写成 ∫(b)-∫(a) =∫() b-a
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. (1) (2) 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成
几何解释: y=∫(x) B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 线平行于弦AB ……. 证分析:条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b) 弦4B方程为y=1( x-a b 曲线∫(x)减去弦AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等
作辅助函数 F(x)=f(x)-[f(a)+ ∫(b)-∫(a (x-a) b-a F(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b内至少存在一点,使得F(2)=0 即f5)-(b )-∫( b 拉格朗日中值公式 或∫(b)-f(a)=f(2)(b-a) 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系