第三章解线性方程组的直接法 a,,+ax2+,,.+ann=b 1x1+a2x2+…+a2nxn=b a1xX1+a.,x+…+ax nI nn n 简记作AX=B(A|≠0 2 其中A= LX B=
第三章 解线性方程组的直接法 其中 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , . n n n n nn n n a a a x b a a a x b A X B a a a x b = = = 简记作 AX B A = (| | 0)
■低阶稠密线性方程组 大型稀疏方程组 ■线性方程组AX=B的一般数值解法: 1.直接法:通过有限步精确运算求得方程组的精确解 (存在舍入误差)。适用于低阶稠密方程组 消元法 主元素法 2.迭代法:通过构造迭代方程组进行迭代。 简单迭代法 适用于大型稀疏方程组 赛德尔迭代法
◼ 低阶稠密线性方程组 ◼ 大型稀疏方程组 ◼ 线性方程组AX=B的一般数值解法： 1. 直接法：通过有限步精确运算求得方程组的精确解 （存在舍入误差）。 • 消元法 • 主元素法 2. 迭代法：通过构造迭代方程组进行迭代。 • 简单迭代法 • 赛德尔迭代法 适用于低阶稠密方程组 适用于大型稀疏方程组
§1消元法 2x1+x2+x3=7(1) 例解方程组{4x1+5x2-x3=11(2) 解①消元:消去(2)(3)式中含x1的项 (2)-2*():(4-2×2)x1+(5-2×1)x2+(-1-2×1)x3=11-2×7 2*(3)-():(2×1-2)x1+(2X(-1)-1)x2+(2×1-1)x3=0×2-7 3x2-3x3=-3(4) 3x2+x3=-7(5)
§1 消元法 例 解方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 7 (1) 4 5 11 (2) 0 (3) x x x x x x x x x + + = + − = − + = 解 ① 消元：消去(2)(3)式中含x1的项 1 2 3 1 2 3 (2) 2*(1) : (4 2 2) (5 2 1) ( 1 2 1) 11 2 7 2*(3) (1) : (2 1 2) (2 ( 1) 1) (2 1 1) 0 2 7 x x x x x x − − + − + − − = − − − + − − + − = − 2 3 2 3 3 3 3 (4) 3 7 (5) x x x x − = − − + = − 即
消去(5)式中含x2的项,得-2x3=-10(6) 2x1+x2+x3=7(1) 得同解方程组3x2-3x2=-3(4) 2x2=-10(6 x3 ②回代: x3=(-10)/(-2)=5 =(3+3x3)/3=(-3+3×5)3=4 (7-x2-x)/2=(7-4-5)/2=
② 回代： ( ) ( ) 3 x = − − = 10 2 5 x x 2 3 = − + = − + = ( 3 3 3 3 3 5 3 4 ) ( ) x x x 1 2 3 = − − = − − = − (7 2 7 4 5 2 1 ) ( ) 得同解方程组 1 2 3 2 3 3 2 7 (1) 3 3 3 (4) 2 10 (6) x x x x x x + + = − = − − = − 消去(5)式中含x2的项，得 3 − = − 2 10 (6) x
1、消元法的一般描述(以n=3为例) a1x1+a12x2+a13x3=b ax, fanta. a3rx, +a32x2+a33x3=b3 x1+12x2+l12x2=21 12 13 ①消元 L2xX2+22x2=2 得到三角形 线性方程组 ②回代{x2=(2-l2x)2 解出未知量 x1=(=1-L2x2-3x3)1
1、消元法的一般描述（以n=3为例） ① 消元 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = ② 回代 11 1 12 2 13 3 1 22 2 23 3 2 33 3 3 u x u x u x z u x u x z u x z + + = + = = 3 3 33 2 2 23 3 22 1 1 12 2 13 3 11 ( ) ( ) x z u x z u x u x z u x u x u = = − = − − 得到三角形 线性方程组 解出未知量
(1)消元计算过程 a1x1+a12x2+a3x3=b(1) a21x1+a2x2+a2x3=b2(2) a1x1+a2x2+a23x3=b3(3) ①(1)式两端同除以常数1,得 x1+l1x,+1 12 其中a 12 l12=13 引入参数21=,l31=,消去(2(3)式中含x1的项
（1）消元计算过程 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 (1) (2) (3) a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + = + + = + + = ① (1)式两端同除以常数 l 11 ，得 11 1 12 2 13 3 1 u x u x u x z + + = (4) 其中 11 12 1 13 11 12 13 1 11 11 11 11 , , , , a a b a u u u z l l l l = = = = 引入参数 消去(2)(3)式中含x1的项 21 31 21 31 11 11 , , a a l l u u = =
(2)-l21:(4):0+(a2-l212)x2+(a2-l2 21133 b2-l2 (3)-l31:(4):0+(a2-l112)x2+(a3-l3113)x3=b3-l3 简记为 1)x 22“2 +a23x3 a2x2+a23x2=b() 其中 a0=a;,b0=b
21 22 21 12 2 23 21 13 3 2 21 1 31 32 31 12 2 33 31 13 3 3 31 1 (2) (4) : 0 ( ) ( ) (3) (4) : 0 ( ) ( ) l a l u x a l u x b l z l a l u x a l u x b l z − + − + − = − − + − + − = − 简记为 (1) (1) (1) 22 2 23 3 2 (1) (1) (1) 32 2 33 3 3 (5) (6) a x a x b a x a x b + = + = 其中 (1) (0) 1 1 (1) (0) 1 1 (0) (0) , ij ij i j i i i ij ij i i a a l u b b l z a a b b = − = − = =
②对(5)(6)式组成的方程组消元: 5)式两端分别同除以常数l2,得 ux tox=z (1) 其中2 2 2 3 bo 6-l 22 引入1532=2-12n2 消去(6)式中含x2的项 22 22 (6)-l2(7):0+(a3-l22)x3=b-l22
② 对(5)(6)式组成的方程组消元： (5)式两端分别同除以常数 l 22 ，得 22 2 23 3 2 u x u x z + = (7) 其中 (1) (1) 22 22 21 12 23 23 21 13 22 23 22 22 22 22 , , a a l u a a l u u u l l l l − − = = = = 引入参数 消去(6)式中含x2的项 (1) 32 32 31 12 32 22 22 , a a l u l u u − = = (1) 2 2 21 1 2 22 22 , b b l z z l l − = = (1) (1) 32 33 32 23 3 3 32 2 (6) (7) : 0 ( ) − + − = − l a l u x b l z
简记为 b3(8) 2) 其中 3223 3“31133223 b-l22=b2 ③(8)式两端同除以常数l3,得 l23x3=3(9) 3331133223 其中 2
简记为 (2) (2) 33 3 3 a x b = (8) 其中 (2) (1) 33 33 32 23 33 31 13 32 23 (2) (1) 3 3 32 2 3 31 1 32 2 a a l u a l u l u b b l z b l z l z = − = − − = − = − − 33 3 3 u x z = (9) ③ (8)式两端同除以常数 l 33 ，得 其中 (2) 33 33 31 13 32 23 33 33 33 (2) 3 3 31 1 32 2 3 33 33 , , a a l u l u u l l b b l z l z z l l − − = = − − = =
消元过程结束,得到三角形线性方程组 ux fux +L12x2=2 13 l2x2+l23x3 简记为UX=Z 2 其中U=0l2l23|,X=x2|,Z==2
消元过程结束，得到三角形线性方程组 其中 UX Z= 11 1 12 2 13 3 1 22 2 23 3 2 33 3 3 u x u x u x z u x u x z u x z + + = + = = 简记为 11 12 13 1 1 22 23 2 2 33 3 3 0 , , 0 0 u u u x z U u u X x Z z u x z = = =