第七章 空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 、空间点的直角坐标 、空间两点间的距离 三、小结
第一节 空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离 三、小结 第七章 空间解析几何 与向量代数
空间点的直角坐标 个坐标轴的正方向 z竖轴 符合右手系 即以右手握住z轴, 当右手的四个手指 定点O 从正向x轴以。角 卩纵轴 度转向正向y轴 横轴x 时,大拇指的指向 就是轴的正向 空间直角坐标系
横轴 x y 纵轴 z 竖轴 定点 o • 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向 符合右手系. 即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指 从正向x 轴以 2 角 度转向正向y 轴 时，大拇指的指向 就是z轴的正向. 一、空间点的直角坐标
0 面 J0z面 xOy面 Ⅶx Ⅵ V 空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅶ x o y z xoy 面 yoz 面 zox 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ
空间的点有序数组(x,y,x) 特殊点的表示:坐标轴上的点P,Q,R, 坐标面上的点A,B,C,O(0,0,0) R(0,0,z) B(0,y,x) x,0,4) rM(d, 3,2 00
空间的点 ⎯→ 有序数组 (x, y,z) 1−−1 特殊点的表示: O(0,0,0) • M(x, y,z) x y z o P(x,0,0) Q(0, y,0) R(0,0,z) A(x, y,0) B(0, y,z) C(x,o,z) 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C
空间两点间的距离 设M1(x1,y1,x1)、M2(x2,y2,2)为空间两点 R d=M,M,=? 在直角△M1MM Q及直角△M,PN P 中,使用勾股定 0 y理知 d2=M,P +PN"+NM
设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点 x y z o • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 d 2 = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离
R 15 PN=22-y1l, Q P 15 P++PN"+NM2 2 M1M2=(x2-x)2+(n2-n)+(z2-z) 空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),O(0,0,0) d=OM=、x2+y2+z2
, M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z o • M1 P N Q R •M2
例1求证以M1(4,3,1)、M2(7,2)、M3(5,2,3) 点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解M1M2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14 M, 3=(5-7)2+(2 (2-1)2+(3-2)2=6, M2M1=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6 M2M3=M3M1,原结论成立
例 1 求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 = 2 M1M2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, 2 2 2 − + − + − = = 2 M2M3 (5 7) (2 1) (3 2) 6, 2 2 2 − + − + − = = 2 M3M1 (4 5) (3 2) (1 3) 6, 2 2 2 − + − + − = M2M3 , = M3M1 原结论成立
例2设P在x轴上,它到P(0,2,3的距离为 到点P2,1,-1)的距离的两倍,求点P的坐标 解因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0, PR=√x2+(2)+32=√x2+11 PP2=x2+(-1)2+12=√x2+ P=2PP,∴x2+11=2x2+2 →x=士1,所求点为(1,0,(-10,0)
例 2 设P在x轴上，它到 (0, 2,3) P1 的距离为 到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求点P的坐标. 解 因为P在x轴上， 设P点坐标为 (x,0,0), PP1 = ( ) 2 2 2 x + 2 + 3 11, 2 = x + PP2 = ( ) 2 2 2 x + − 1 + 1 2, 2 = x + PP1 =2 , PP2 11 2 x + 2 2 2 = x + x = 1, 所求点为 (1,0,0), (−1,0,0)
空间直角坐标系(轴、面、卦限) (注意它与平面直角坐标系的区别) 空间两点间距离公式 M1M2=√(x2-x)+(v2-y)+(2-z
空间直角坐标系 空间两点间距离公式 （注意它与平面直角坐标系的区别） （轴、面、卦限） 三、小结 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z
思考题 在空间直角坐标系中,指出下列各 点在哪个卦限? A(1,-2,3),B(2,3,-4), C(2,-3,-4),D(-2,-3,1)
思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？ A(1,−2,3), B(2,3,−4), C(2,−3,−4), D(−2,−3,1)