函数的极限：x→∞时函数的极限

182函数的极限 <极限思想追溯一割圆术 我国魏晋时期的数学家刘徽,创立了“割圆 术长 借助圆内接正多边形的周长,得出圆的周 从圆内接六边形起算,令边数一倍一倍地增 一●加,逐个算出正六边形、正十二边形、正四十八 ∞●边形随着边数的不断增加,圆内接正多边形 越来越接近于圆,圆内接正多边形周长越来越接 ●近于圆随中写道:“割之弥细,所失弥少, 割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失 。「割圆术」是我国数学史上首次将极限概念用 ◆于近似计算。 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 18.2 函数的极限 我国魏晋时期的数学家刘徽,创立了“割圆 术” 。借助圆内接正多边形的周长，得出圆的周 长. 从圆内接六边形起算，令边数一倍一倍地增 加，逐个算出正六边形、正十二边形、正四十八 边形……随着边数的不断增加，圆内接正多边形 越来越接近于圆，圆内接正多边形周长越来越接 近于圆的周长， 极限思想追溯——割圆术 「割圆术」是我国数学史上首次将极限概念用 于近似计算。 刘徽在书中写道：“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失 矣.

·割圆求周 ·从圆内接六边形 ·起算,令边数一倍 ●倍地增加.圆内接正多 <·边形的边数越多,其 圆周长 ●周长越接近圆的周长, 一●当正多边形的边数无 狠增多时,圆内接正 多边形的周长就无限 圆内接正六边形周长 地趋近于圆的周长 圆内接正十二边形周长 圆内接正二十四边形周长 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 割圆求周 圆周长 圆内接正六边形周长 圆内接正十二边形周长 圆内接正二十四边形周长 从圆内接六边形 起算，令边数一倍一 倍地增加. 圆内接正多 边形的边数越多，其 周长越接近圆的周长, 当正多边形的边数无 限增多时，圆内接正 多边形的周长就无限 地趋近于圆的周长

∞时函数的极限 <● < 复习与引入 对于无穷数列{an} ≤·1数列极限的定义a124,am ≤2x∞的含义 如果当项数n无限增大 3引例 时,数列的项a无限趋 就说人是数列1的极 限 记作 lim a=A 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 一、复习与引入 3.引例 1.数列极限的定义 2.x→的含义 18.2.1 x→时函数的极限 对于无穷数列{an } a1 ,a2 ,a3 ,…, ,an ,…, 如果当项数n无限增大 时，数列的项an无限趋 近于一个确定的常数A， 就说A是数列{an }的极 限. lim . n n a A → 记作 =

∞时函数的极限 ∞的含义 下两种基本情况 3引例 (1)x取正值无限 增大,记作x→+∞; (2)取负值而绝 对值无限增大,记作 X→)-0O 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 一、复习与引入 3.引例 1.数列极限的定义 2.x→的含义 18.2.1 x→时函数的极限 x→是指x的绝对值 无限增大，它包括以 下两种基本情况： (1)x取正值无限 增大，记作x→+ ； (2)x取负值而绝 对值无限增大，记作 x→-

∞时函数的极限 ∞o时的变化趋势 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 一、复习与引入 3.引例 1.数列极限的定义 2.x→的含义 18.2.1 x→时函数的极限 = →  1 观察函数y 的图象, x 当x 时的变化趋势

3引例 ≤观察函数y=的图象,当x→时的变化趋势。 X ≤争无论x+0或x>-∞0 ●函数y=的值无限趋近于0 ·即当x→>∞时,→>0 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 3.引例 = →  1 观察函数y 的图象,当x 时的变化趋势。 x 无论x→+ 或x→- 的值无限趋近于0. x 1 函数y = 0. x 1 即 当x →时， →

一、x->∞0时函数极限的定义 ∞时,函数x)无限趋近于 个确定的常数A,那么A就叫做函数fx) 当x->∞时的极限 记作1imf(x)=A X→00 根据定义,1im+=0 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 二、x→ 时函数极限的定义 定义 如果当x→时，函数f(x)无限趋近于 一个确定的常数A，那么A就叫做函数f(x) 当x→ 时的极限. 记作 limf(x) A x = → 0. x 1 根据定义，lim x = →

≤例1观察函数”=+1的图象,写出极眼1im(x+ +或x→>-0, 3 ●函数y=-+1的值无限 6-54-3-2hoi23456 趋近于1, 所以1im(-+1)=1 X→)0 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 1 lim( 1). x y x x →  = + 1 例1 观察函数 +1的图象，写出极限 解 函数图象如右图所 示，由图象可以看出： , 1 x x y x → + → − = 无论 或 函数 +1的值无限 趋近于1， ( 1) 1 → + = x 1 所以 lim . x

≤·三、x→>+∞或x→>-0时涵数的极限 ≤定义如果当x→+以域x→-∞)时, ·函数f(x)的值无限趋近于一个确定 二的常数A,那么A就叫做函数f(x)当 ⅹ→》+∞(或ⅹ→>-0)时的极限,记作 lim f(x=A(ok lim f(x=a) x→+0 x→-00 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 三、x → +或x → −时函数的极限 lim ( ) ( lim ( ) ). x x f x A f x A →+ →− = = 或 → + → − → + → − 定义 如果当x (或x )时， 函数f(x)的值无限趋近于一个确定 的常数A,那么A就叫做函数f(x)当 x (或x )时的极限，记作

◆例2观察函数y y= arctan的图象,并写出 ·( 1)lim arctan (2)lim arctan X→)+ X→)-00 ·解作函数y= arctan的图象, +∞时,y= arctan→ 2 即1 am arctan= X→+00 (2)当x→-∞时,y= arctan> 即1 im arctan=、 此时,1 am arctan≠1 am arctan X→+00 X→-0 所以1 1m arc tanx不存在 X→0 首页上页返回下页

首页 上页 返回 下页 （1）lim arctanx (2)lim arctanx 例2 观察函数y arctanx的图象，并写出 x→+ x→− = , 2 π (1)当x → +时，y = arctanx → 2 π 即 lim arctanx x = →+ 解 作函数y=arctanx的图象， 由图象可以看出， , 2 π (2)当x → −时，y = arctanx → − 2 π 即 lim arctanx x = − →− →+ →− →  x x x 此时，lim arctanx lim arctanx 所以，lim arctanx不存在