54无限区间上的广义积分 定义52设函数()在区间[a+∞)上连续,任取b>a b 如果极限imn「f(x)dx存在,则称此极限值为f(x)在区间 b→+∞Ja a+2)上的广义积分,记为,()dx即
5.4 无限区间上的广义积分 f (x) ) b a lim ( )d , b b a f x x →+ 存在 则 f (x) [a,+)上的 ( )d , a f x x + 定义5.2 设函数 在区间[a,+ 上连续，任取 ＞ 如果极限 称此极限值为 在区间 广义积分，记为 即
b f(r)dx=lim f(x)dx b→+0Ja 这时称广义积分。f(x)dx存在和收敛,如果上述极限 imnf(x)dx不存在,则称广义积分」f(x)dx不存在 b→+∞Ja 和发散
→+ + = b a b a f (x)dx lim f (x)dx, 这时称广义积分 存在和收敛，如果上述极限 不存在，则称广义积分 不存在 和发散. f x x a ( )d + →+ b b a lim f (x)dx f x x a ( )d +
当f(x)≥0且广义积分。f(x)dx收敛时,则广义积 分f(x)dx可以看成是由曲线y=f(x)及直线x=a,y=0 所围成的向右无限延伸的平面图形的面积,如图5-10 类似地,可以定义函数f(x)在无限区间(-∞,b)和 (-∞,+O)上的广义积分: yf() b b f()dx= lm f(odx, x 图5-10
当 且广义积分 收敛时，则广义积 分 可以看成是由曲线 及直线 所围成的向右无限延伸的平面图形的面积，如图 类似地，可以定义函数 在无限区间（ 和 （ 上的广义积分： x = a, y = 0 f (x) 0 f x x a ( )d + f x x a ( )d + y = f (x) 5−10. f (x) − ,b) − ,+) − →− = b b a a f (x)dx lim f (x)dx
f(r)dx= f(x)dx+ f(x)dx, 对于广义积分(x),其收敛的充分必要条件是」f(x 与厂f(xx都收敛 以上三种类型的广义积分,统称为无限区间的广义 积分
对于广义积分 其收敛的充分必要条件是 与 都收敛. 以上三种类型的广义积分，统称为无限区间的广义 积分. + − − + = + c c f (x)dx f (x)dx f (x)dx, + − f (x)dx, f x x c ( )d + f x x c ( )d −
例1求 d 01+x 解 x 01+x b)+∞J01+x lim(arctan x)=lim arctan b b→>+0 b→
d . 1 1 2 0 x + x + 例1 求 + = + →+ + b b x x x x 0 2 0 2 d 1 1 d lim 1 1 x b b b b lim (arctan ) lim arctan 0 →+ →+ = = π . 2 = 解
例2求 xe dx 解因为 redx= xd(e)=xe xe dx -ae=1+e 故 xe dx= lim edx= lim(ae-1+e)=-1
0 e d . x x x − 例2 求 = = − 0 0 0 0 e d d(e ) e e d a x a a x x a x x x x x x x e 1 e , a a = −a − + 0 0 e d lim e d lim ( e 1 e ) 1. x x a a a a a x x x x a − →− →− = = − − + = − 解 因为 故
例3求 sin xdx b b At sin xdx= lim sinxdx= lim( x 0 b→+0 lim(coSb+1) 因为m(-),不存在,故smxd发散
sin d . 1 x x + 例3 求 0 0 sin d lim sin d b b x x x x + →+ = = 0 lim ( cos ) b b x →+ − = lim (−cos +1), →+ b b lim ( cosb) b − →+ 0 sin dx x + 解 因为 ，不存在，故 发散
例4讨论 dx当a为何值时收敛,为何 x 值时发散 解当a=1时 k=m[dx=m(hx)=lmhb不存在 6- →)+0 即dx发散 X 当a≠时 (ba-1) →)+ 当a>1时,ba→>0b→+∞),因此
解 当 a =1 时， →+ →+ →+ + = = = b b b b b a x x b x x x 1 1 1 d lim (ln ) lim ln 1 d lim 1 1 1 dx x + ( 1), 1 1 ) lim 1 1 d lim ( 1 d lim 1 1 , 1 1 1 1 1 − − = − = = − →+ − →+ →+ + a b b a b b a b a b a x a x x x x 当a 时 当 a ＞1时， 0( ), 1 → → + − b b a 因此 即 发散. 例4 讨论 当 为何值时收敛，为何 值时发散. x x a d 1 1 + a 不存在
+00 dx= lim-(6-1 X C 当a1时收敛,当<1时是发散 x 的
1 1 1 1 1 d lim ( 1) b 1 1 x b x + − →+ = − = − − 当 ＜1时， 因此 发散.故 广义积分 当 ＞1时收敛，当 ≤1时是发散 的. a ( ), 1 → → + − b b dx x 1 1 + dx x a 1 1 + a a