《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）4.1 线性方程组的消元解法

第四章线性方程组 §4.1线性方程组的消元解法 用消元法解线性方程组的基本思想是:通过 对方程组中方程之间的运算,把一部分方程变成 未知量较少的方程,使新的方程组与原方程组同 解

第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的消元解法 用消元法解线性方程组的基本思想是：通过 对方程组中方程之间的运算，把一部分方程变成 未知量较少的方程，使新的方程组与原方程组同 解

例1解线性方程组 2x1+x2+2x2=9 x1+2x2+4x3=5 (1) 3x1-3x2+x3=10. 解交换方程组(1)中前两个方程,得 x1+2x2+4x3=5 2x1+x2+2x3 (2) 3x1-3x+x2=10

例1 解线性方程组 2x1+ x2+ 2x3 = 9, x1+2x2 + 4x3 = 5, （1） 3x1–3x2+ x3 = 10. 解 交换方程组（1）中前两个方程，得 x1+2x2+ 4x3 = 5, 2x1+ x2+ 2x3 = 9, （2） 3x1–3x2+ x3 = 10.      

方程组(2)中的第一个方程的(-2)倍与(-3)倍 分别加到第二、第三个方程,得 x1+2x2+4x3=5 3x2-6x3=-1 (3) 9x2-1lx32=-5 方程组(3)中的第二个方程的(一3)倍加到第三个方 程,得 x1+2x2+4x3=5 3x2-6x3=-1, (4)

方程组(2)中的第一个方程的( – 2)倍与( – 3)倍 分别加到第二、第三个方程，得 x1+ 2x2 + 4x3 = 5, – 3x2 – 6x3 = – 1, （3） – 9x2 – 11x3 = – 5. 方程组(3)中的第二个方程的(－3)倍加到第三个方 程，得 x1+ 2x2 + 4x3 = 5, – 3x2 – 6x3 = – 1, （4） 7x3 = – 2.      

方程组(4)是一个阶梯形方程组由(4)的第三个 方程可得x3的值,这一过程称为回代 x1+2x2+4x3=5 3X-6X 1(5) 3 在方程组5中把第三个方程的6倍、(-4)倍分别加 到第二、一两个方程中,整理后得 43 +2x 3 (6) 7

方程组(4)是一个阶梯形方程组.由(4)的第三个 方程可得x3的值，这一过程称为回代 . （5） 在方程组(5)中把第三个方程的6倍、 ( – 4)倍分别加 到第二、一两个方程中，整理后得 （6）        = − − − = − + + = 7 2 3 6 1 2 4 5 3 2 3 1 2 3 x x x x x x          = − − = − + = 7 2 7 19 3 7 43 2 3 2 1 2 x x x x

方程组6中第二个方程两端乘以(),得 43 x1+2x2= 21 2 x3 方程组(7)中第二个方程的(2)倍加到第一个方程 得 91 21 21 (8)

方程组(6)中第二个方程两端乘以(– )，得 (7) 方程组(7)中第二个方程的(– 2)倍加到第一个方程 得 (8) 1 3          = − = + = 7 2 21 19 7 43 2 3 2 1 2 x x x x          = − = = 7 2 21 19 21 91 3 2 1 x x x

方程组(1)-(8)是同解方程组方程组(8)的解就 是原方程(1)的解 上面解法就是线性方程组的消元法,(1)至(5是 消元过程,(5)至(8)是回代过程 对于一般线性方程组 a11x1+ a12x2+.+ aurn=b, a2x1+a2x2+…+a2nxn=b2,(4.1) amIri+ am2x2+, ,, amrrn=b

方程组(1) —(8)是同解方程组,方程组(8)的解就 是原方程(1)的解. 上面解法就是线性方程组的消元法，(1)至(5)是 消元过程, (5)至(8)是回代过程. 对于一般线性方程组 a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1 , a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 , (4.1) … … am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm ,     

其矩阵形式为Ax=b, (42) 其中 l112 系数矩阵A b 2122 2n2 b mI 2 增广矩阵(4b)= b 22 2 n (43) b 12

其矩阵形式为 Ax = b, (4.2) 其中 系数矩阵 A= 增广矩阵 (A b ) = （4.3)               m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1               m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1

XI 常数项矩阵b=b2,n元未知量x=x2 n 这是线性方程组的一般形式,其中当b0时称为 非齐次线性方程组,当b=0时称为齐次线性方程组 由例1可以看出,用消元法解线性方程组的过 程,实质上就是对该方程组增广矩阵施以行的初等 变换(称为初等行变换)化为行简化阶梯形矩阵, 从而求出方程组的解

常数项矩阵b = , n元未知量 x = . 这是线性方程组的一般形式，其中当 b≠0时称为 非齐次线性方程组，当 b=0时称为齐次线性方程组. 由例 1可以看出，用消元法解线性方程组的过 程，实质上就是对该方程组增广矩阵施以行的初等 变换（称为初等行变换）化为行简化阶梯形矩阵， 从而求出方程组的解.               bm b b  2 1               xn x x  2 1

在例1中对线性方程组的增广矩阵作初等行 变换求解过程是: 212:9 124 124:5 交换①② 212 3-31:10 3-31:10 ①x2②(124:5 ①×-3③0-3-6-1

在例1中对线性方程组的增广矩阵作初等行 变换求解过程是: ①②           − ⎯⎯⎯→           − 3 3 1 10 2 1 2 9 1 2 4 5 3 3 1 10 1 2 4 5 2 1 2 9 交换           − − − ⎯⎯ ⎯→ − − −  − +  − + 0 9 11 5 0 3 6 1 1 2 4 5 ( 3) ( 2) ① ① ② ③

1245 1245 ②x3430-3-6-1 70-3-6-1 007-2 2 001 43 43 120 ③x(+)+① ③×6+② 19②×(- 727 21 2 00 001 91 100 21 (-2)+ 19 2 001

                − ⎯⎯→ − − −           − ⎯⎯⎯→ − − −   − + 7 2 0 0 1 0 3 6 1 1 2 4 5 0 0 7 2 0 3 6 1 1 2 4 5 7 1 ( 3 )                 − ⎯⎯⎯→                 − ⎯⎯⎯→                 − ⎯⎯⎯→ − −  − +  −  +  − + 7 2 0 0 1 21 19 0 1 0 21 91 1 0 0 7 2 0 0 1 21 19 0 1 0 7 43 1 2 0 7 2 0 0 1 7 19 0 3 0 7 43 1 2 0 ( 2) ) 3 1 ( 6 ( 4) ① ① ③ ③ ③ ③ ② ② ② ②