第六章线性规划问题的数学 模型及解的性质 §6.1线性规划问题及其数学模型 几个实例 例1(运输问题)设有两个砖厂A1A2,其产量分别为23万块和27 万块它们生产的砖联合供应B,B2B这三个工地这三个工地对砖的 需求量分别为17万块、18万块和15万块而自A1运砖到工地B1B2,B3 的运价分别为每万块10元、15元和20元,自A2运砖到工地B1B2B3的 运价分别为每万块20元,40元和20元问应如何调运,才能使总运费最 少
第六章 线性规划问题的数学 模型及解的性质 §6.1 线性规划问题及其数学模型 一、几个实例 例1 (运输问题)设有两个砖厂A1 ,A2 ,其产量分别为23万块和27 万块.它们生产的砖联合供应B1 ,B2 ,B3这三个工地.这三个工地对砖的 需求量分别为17万块、18万块和15万块. 而自A1运砖到工地B1 ,B2 ,B3 的运价分别为每万块10元、15元和20元,自A2运砖到工地B1 ,B2 ,B3 的 运价分别为每万块20元,40元和20元.问应如何调运,才能使总运费最 少?
解以x表示A1至B的运量,得运量表如表6-1 表6-1 运量工 B B 地 3发量历块 砖厂 13 23 21 23 27 收量/万块 171815 由各砖厂运往三个工地的砖的总数应等于各砖 厂的产量.可得: x1+x12+x13=23 x21+x2+x2=27
解 以 xij 表示Ai 至Bj 的运量，得运量表如表6-1 表 6-1 由各砖厂运往三个工地的砖的总数应等于各砖 厂的产量. 可得： x11+ x12+ x13 = 23 x21+ x22+ x23 = 27 运量 工 地 砖厂 B1 B2 B3 发量/万块 A1 x11 x12 x13 23 A2 x21 x22 x23 27 收量/万块 17 18 15
由各工地收到的砖的总数应等于其需求量,可 得: x12+x2=18 13+x23=15 总运费S等于每个运量与对应的运价乘积之和, 即S-10x1+15x12+20x13+20x21+40x2+20x23 于是,得此问题的数学模型为: 求一组变量x(i=1,2,j=1,2,3)的值
由各工地收到的砖的总数应等于其需求量，可 得： x11 + x21 = 17 x12 + x22 = 18 x13 + x23 = 15 总运费 S 等于每个运量与对应的运价乘积之和， 即 S=10x11+15x12+20x13+20x21+40x22+20x23 于是，得此问题的数学模型为： 求一组变量 xij （i =1, 2; j =1, 2, 3）的值
使它们满足 x1+x12+x 13 23 x21+x2+x23=27 17 约束条件 21 x12+x2=18 x12+x22=1 23 ≥0(=1,2;j=1,2,3) 并使目标函数 S=10x1+15x2+20x13+20x21+40x2+20x23 的值最小
使它们满足 并使目标函数 S=10x11+15x12+20x13+20x21+40x22+20x23 的值最小. = = + = + = + = + + = + + = 0 ( 1, 2; 1, 2, 3) 15 18 17 27 23 1 3 2 3 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 x i j x x x x x x x x x x x x i j 约束条件
例2(资源最优利用问题)某厂制造A和B两种 产品,制造A产品1需煤9(吨),劳动力3个以工作 日计),电力4kw;制造B产品1kg需煤4t,劳动力10个,电力 5kw,并已知制造痉产品1kg能获利70元,制造B产品1kg能 获利120元该厂只有煤360t,电力200kw,劳动力300个可 利用.在现有资源条件下,应该制造A和B各多少公斤,才 能使总利润最大? 解将上述问题的有关数据列表6-3所示
例2 （资源最优利用问题）某厂制造A和B两种 产品，制造A产品1kg 需煤9t（吨）,劳动力3 个(以工作 日计),电力4kw;制造B产品1kg 需煤4t ,劳动力10个,电力 5kw,并已知制造A产品1kg 能获利70元,制造B产品1kg 能 获利120元.该厂只有煤360t,电力200kw,劳动力300 个可 利用. 在现有资源条件下, 应该制造A和B各多少公斤, 才 能使总利润最大? 解 将上述问题的有关数据列表6-3所示：
表63 单耗产A/kgB/kg现有资源t 品 资源 煤/t 943 360 电力/kW 5 200 劳动力/个 10 300 利润元 70 设x,x2分别表小2B两种产品的计划产量 由于生产A,B两种产品所用煤、电、劳动力的 总数不得超过现有资源数,于是有:
表6-3 设x1 , x2分别表示A、B 两种产品的计划产量. 由于生产A, B两种产品所用煤、电、劳动力的 总数不得超过现有资源数，于是有: 单耗 产 品 资源 A/kg B/kg 现有资源/t 煤/t 电力/kw 劳动力/个 9 4 4 5 3 10 360 200 300 利润/元 70 120
9x1+4x2<360 4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 总利润S为两种产品的利润之和即 S=70x1+120x2 于是得此问题的数学模型为: 求一组变量x1,x2的值,使它们满足
9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤ 200 3x1 + 10x2 ≤ 300 总利润 S 为两种产品的利润之和.即 S = 70x1 + 120 x2 于是得此问题的数学模型为: 求一组变量 x1 , x2 的值,使它们满足
9x1+4x2<360 4x1+5x2≤200 约束条件 3x1+10x2≤300 并使目标函数S=70x1+120x2的值最大 例3(配料问题)某农科所引进试种一种作物已知 其全部生产过程中,至少需要氮肥32kg,磷肥24kg,钾肥 42kg,这三种肥料可以从甲,乙,丙,丁四种复合料中获 得,又知四种复合肥料每公斤价格及含氮,磷,钾的 数量如下表6-5所示:
9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤ 200 3x1 + 10x2 ≤ 300 xi≥0 (i=1, 2) 并使目标函数 S = 70x1 + 120 x2 的值最大. 例3 (配料问题) 某农科所引进试种一种作物,已知 其全部生产过程中,至少需要氮肥32kg, 磷肥24kg, 钾肥 42kg, 这三种肥料可以从甲, 乙, 丙, 丁四种复合料中获 得，又知四种复合肥料每公斤价格及含氮，磷，钾的 数量如下表 6-5 所示： 约束条件
表6-5 复合肥 料 甲乙丙丁 所含成分百分比 肥料需求量/kg 成分 氮磷钾 003030 32 0.150.0500.2 24 010.140 0 42 007 每公斤价格/元 0.040.150 问应如何配合使剧将些复合肥料,既能满足作物对 氮、磷、钾的需要,又使施肥成本最低? 解设所需甲,乙,丙,丁四种复合肥的数量分别为x X 3,4
表 6-5 问应如何配合使用这些复合肥料，既能满足作物对 氮、 磷 、钾的需要，又使施肥成本最低？ 解 设所需甲,乙,丙,丁四种复合肥的数量分别为x1， x2，x3，x4 kg. 复合肥 料 所含成分百分比 成 分 甲 乙 丙 丁 肥料需求量/kg 氮 磷 钾 0.03 0.3 0 0.15 0.05 0 0.2 0.1 0.14 0 0 0.07 32 24 42 每公斤价格/元 0.04 0.15 0.1 0.13
由四种复合肥混合后所含氮、磷、钾的数量不得低于 作物对其需要量,可得: 0.03x1+0.3x2 +0.15x≥32 0.05x1 +0.2x3+0.1x24 0.14x1 +0.07x442 购买复合肥的成本为 S=0.04x1+0.15x2+0.1x3+0.13x4 于是,这个问题的数学模型为 求一组变量x(j=1,2,34)的值,使其满足
由四种复合肥混合后所含氮、磷、钾的数量不得低于 作物对其需要量，可得： 0.03x1+ 0.3x2 + 0.15x4≥32 0.05x1 + 0.2x3 + 0.1x4≥24 0.14x1 + 0.07x4≥42 购买复合肥的成本为 S = 0.04x1 + 0.15x2 + 0.1x3 + 0.13x4 于是 , 这个问题的数学模型为: 求一组变量 xj ( j = 1,2,3,4)的值,使其满足