第五节 第七章 可降阶高阶微分方程 、y)=f(x)型的微分方程 二、y"=f(x,y)型的微分方程 三、y"=f(y,y)型的微分方程 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 可降阶高阶微分方程 第五节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第七章
y()=f(x)型的微分方程 令z=pm-1)mdz=p(n=f(x),因此 d z= f(r)dx+Cl 即 (n-1) f(r)dx+Cl 同理可得y02=(x)dx+C1ux+C2 「(x) dx ]dx+Cix+c 依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程
例1.求解ym=c2 cOS X 解:y2-」( e x ldx+C sinx to elx+coSx +Clx+C x y=ne +sinx +Clx+cx+c (此处C1=C1) HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x dx C x = − + 1 2 e sin 2 1 x C x = − + x y 2 e 4 1 = x y 2 e 8 1 = + sin x 2 1 +C x 2 C3 +C x + + cos x 1 C2 +C x +
例2.质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线 运动,设力F仅是时间t的函数F=F().在开始时刻 t=0时F(0)=F0,随着时间的增大,此力F均匀地减 小,直到t=T时F(⑦=0.如果开始时质点在原点,且 初速度为0,求质点的运动规律 解:据题意有 F d-x d B—m0 ELF( X 0 d 0 Tt 对方程两边积分得 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束t F O 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 F(t) = (1 ) d d 0 2 2 T t m F t x = − F0 T
dx F dt 2T (1 利用初始条件0=0得C1=0于是 d t 2T 两边再积分得x m267 )+C2 再利用x1=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 X 2m BT HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = −
三、y"=f(x,y)型的微分方程 设y=p(x),则y"=p,原方程化为一阶方程 p'=f(r, p) 设其通解为p=q(x,C1 则得 y=0(x,C1) 再一次积分,得原方程的通解 y=o(x, C1)dx+C2 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二
例3.求解 2 v =2xy 0 0 解:设y=p(x),则y”=p,代入方程得 (1+x2)p=2p分离变量dp2xdr p(1+x2) 积分得p=n(1+x2)+nC1,即p=C1(1+x2) 利用y|x0=3,得C1=3于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1因此所求特解为 y=x+3x+1 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 + = 分离变量 积分得 ln ln(1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为
例4.设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,绳索仅受 重力作用而下垂,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线? 解:取坐标系如图考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情況 T A点受水平张力H MK0 M点受切向张力T 弧段重力大小pgs(p:密度,s:长) pgs X 按静力平衡条件,有Tcos=H, Sine=pgs 两式相除得tmO=1(其中a=H) pg 故有 t y dx 1+y HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 ( : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs ( ) g H a 其中 = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A y O x
设O4|=a,则得定解问题 T y”=a1+y 悬链线 MK0 ylx=0=a,y1x=0=0 令y=p(x)则y”=P,原方程化为 pgs dx X d dx 1+p Arshp=In(p+v1+p 两端积分得 Arsh p=a+C,由y1x=0=0得C1=0 则有 v=sh 两端积分得y=achn+C2,由yx0=a,得C2=0 故所求绳索的形状为y=ach-=(e+ea) 2 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 y 1 y a = + 设 OA = a, 则得定解问题: 令 y = p(x), , d d x p 则 y = 原方程化为 两端积分得 Arsh ln( 1 ) 2 p = p + + p Arsh , p a C1 x = + 0, 得C1 = 则有 两端积分得 得C2 = 0 故所求绳索的形状为 a x y = a ch ( e e ) 2 a x a x a − = + 悬 链 线 a M gs T H A y O x
三、y"=f(yy)型的微分方程 令y=p(y2则 y dx dr d5b dp dp dy d d 故方程化为 d dy f(y, p) 设其通解为p=0(y2C1,即得 y=(y,C1) 分离变量后积分,得原方程的通解 dy x o(v, C1 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、 y = f (y, y ) 型的微分方程 令 y = p( y), x p y d d 则 = x y y p d d d d = 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解