第六节 第九章 多元函数微分学的几何应用 元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 第六节 一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章
一元向量值函数及其导数z 引例:已知空间曲线的参数方程 x=0() y=v(t)t∈[c, z=0() 记r=(x,y,z),f(1)=(0(1)y(),O() 的向量方程r=f(t),t∈[a,6] 此方程确定映射f:[a,B]→>R3称此映射为一元向量 值函数 对厂上的动点M,显然r=OM,即是r的终点M 的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 要用向量值函嶽研究曲线的這犊性和光滑性,就需要引进向 量值画数的极限、连续和导数的欐念 ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 的参数方程: [ , ] ( ) ( ) ( ) = = = t z t y t x t 记 r = (x, y,z), f (t) = ((t), (t),(t)) 的向量方程 r = f (t), t [, ] M r x z O y 对 上的动点M , 即 是 此方程确定映射 3 f :[, ]→ R ,称此映射为一元向量 显然 r = OM， r 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念
定义:给定数集DcR,称映射f:D→R为一元向量 值函数(简称向量值函数),记为 定义域 =f(1),t∈D 因变量 自变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关,因此下面仅以n=3的情形为代表 进行讨论 严格定义见P93 设f()=(f(1),(t),3(1),t∈D,则 极限:limf(t)=( lim fi(),imnf2(),inf3() t→>t t→ →>t0 t→)tn 连续:limf()=f(t0) 导数:f(t)=(f(t),f2(t),f(t) ()=lmn/(+A1)-f() t->t0 △t △o0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义: 给定数集 D R , 称映射 n f : D → R 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 r = f (t), t D 定义域 因变量 自变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 1 2 3 设 则 f t f t f t f t t D ( ) ( ( ), ( ), ( )), , = 极限： 连续： 导数： 严格定义见P93 lim ( ) (lim ( ), lim ( ), lim ( )) 1 2 3 0 0 0 0 f t f t f t f t t→t t→t t→t t→t = lim ( ) ( )0 0 f t f t t t = → ( ) ( ( ), ( ), ( )) 1 2 3 f t = f t f t f t t f t t f t f t t t Δ ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表
向量值函数的导数运算法则:(P94-95) 设ν是可导向量值函数C是常向量,c是任一常数, 0(1)是可导函数,则 d (2)ac()=ca(t) (3)()()]=()产() (4)[()(1)=q()i(1)+(n7( ),,或)=()()+(,() 6),)×()=()×()+()x() (7)p()=()n(() dt 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则: (P94-95) 设 u, v 是可导向量值函数, (t) 是可导函数, 则 C O t = d d (1) (2) [ ( )] ( ) d d cu t c u t t = (3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) d d u t v t u t v t t = (4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d t u t t u t t u t t = + (5) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d u t v t u t v t u t v t t = + (6) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d d u t v t u t v t u t v t t = + C 是常向量, c 是任一常数, (7) ( ) ( ) ( ) d d u t t u t t =
向量值函数导数的几何意义: 在R冲中,设r=f()t∈D的终端曲线为厂 OM=f(0),ON=f(0+△t △ △=f(t0+△)-f(t0) △ m f(t0) 1->10△t 设f(t0)≠0,则 f(t)表示终端曲线在处的切向量 其指向与t的增长方向一致 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义: 在 R3中, 设 r = f (t), t D 的终端曲线为 , M x z O y Δr ( ) 0 f t t r Δ Δ ( ), ( Δ ) 0 0 OM = f t ON = f t + t N Δ ( Δ ) ( ) 0 0 r = f t + t − f t ( ) Δ Δ lim 0 0 f t t r t t = → 表示终端曲线在t0处的 切向量, 其指向与t 的增长方向一致. ( ) 0 f t 设 f (t 0 ) 0 , 则 r
向量值函数导数的物理意义: 设r=f()表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 速度向量:v(t)=f(t 加速度向量:a=v(t)=f"(t) 例1.设f(t)=(c0s1)i+(sint)j+tk,求limf(t) t→ 94: lim f(t)=(lim cost)i+(lim sin t)j+limt k 21+j+(=f() 1+ 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义: 设 r = f (t) 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 v(t) = f (t) a = v (t) = f (t) ( ) (cos ) (sin ) , lim ( ). 4 π f t t i t j t k f t t→ 例1. 设 = + + 求 速度向量： 加速度向量： 解： f t t i t j t k t t t t 4 π 4 π 4 π 4 π lim ( ) (lim cos ) (lim sin ) lim → → → → = + + i j k 4 π 2 2 2 2 = + + ( ( ) ) 4 π = f
例2.设空间曲线厂的向量方程为 f(t)=(t+1,4t-3,212-61),t∈R 求曲线厂上对应于0=2的点处的单位切向量 解:f()=(2t,4,4-6),t∈R f(2)=(4,4,-2) f(2)=√4+4+(-2)=6 故所求单位切向量为 f(2) 333 其方向与t的增长方向一致 另一与t的增长方向相反的单位切向量为( △o 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于 解: ( ) ( 1, 4 3, 2 6 ) 2 2 r = f t = t + t − t − t 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 ) 3 1 , 3 2 , 3 2 (− − − = 6
例3.—人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺 旋式上升,其位置向量为r=(3cos,3in,t2,求 1)滑翔机在任意时刻t的速度向量与加速度向量 ()滑翔机在任意时刻t的速率 (3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻 解:(1)=r()=(-3sint,3cost,2) y=(-3c0s,-3sint,2) (2)7()=(=3in)2+(-300)2+(2)2=9+4 (3)由νa=0即9 sint cost-9 costain+4t=0, 得t=0,即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交 ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 旋式上升, 其位置向量为 求 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻. 解: (1) (3) 由 即 得t = 0, 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交
、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位 置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面 给定光滑曲线 F:f(1)=(0()y(t),O(t) 则当0,v,o‘不同时为0时,在 点M(x,yz)处的切向量及法平面的 法向量均为 f(t)=(q(,y(t),o)(t) 利用点式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. T M 置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 ：f (t) = ((t), (t),(t)) 给定光滑曲线 在 f (t) = ((t),(t),(t)) 点法式可建立曲线的法平面方程 利用 则当 ， ，不同时为 0时， 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 点向式可建立曲线的切线方程
1.曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线:x=0(1,y=v(),z=0(),t∈[a,月 设/上的点M(x,y。2)对应t=10,()v(t)0()不全 为0,则在点M的导向量为 f(0)=(0(10)2v(t0),O(t0)) 因此曲线在点M处的 切线方程 x-xo y-y 0(0)(t0)o′(t0) 法平面方程 0(t0)(x-x0)+v(t0)(y-y0)+0'(t0)(2-=0)=0 ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况 因此曲线 在点 M 处的 0 0 0 x x y y z − z = − = − ( ) 0 t ( ) 0 t ( ) 0 t ( , , ) , 0 0 0 0 设上的点M x y z 对应t = t 则 在点M 的导向量为 ( )( ) 0 0 t x − x ( )( ) 0 0 + t y − y ( )( ) 0 + t0 z − z0 = 法平面方程 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 f t = t t t M ( ) 0 f t (t 0 ),(t 0 ),(t 0 )不全 给定光滑曲线 为0, 切线方程