二、方向导数的定义y z=f(x,y)在P(x0,y) / P(xy) 沿向的方向导数 ∫(P)-f(B0) Po(o,yo) m L P0P→ P PP P∈l \ Lim (xo+t cos a, yo+t B)-f(o, yo) 0 易知,∫(P)=沿i方向的方向导数 =沿-i向的方向导数的相屢数
二、方向导数的定义 沿 方向的方向导数 在 l z f (x, y) P (x , y ) = 0 0 0 O x y ( , ) 0 0 0 P x y l l e • P(x,y) • | | ( ) ( ) lim 0 0 0 0 PP f P f P l f P l P P df P − = → t f x t y t f x y t PP t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 | | 0 + + − = → + = ( ) P0 f x 易知, 沿i方向的方向导数 = 沿 i方向的方向导数的相反数 。 = − 2/7
方向导数的物理意义:z z=f(r,y) 函数zf(x)在 M 点P处沿方向的变 化率; 方向导数的几何意义: 曲面z=f(xy) 在点M沿方向l : 半切线的斜率。 △x
x z y 0 l t y x t f P P0 z = f (x,y) x y Q ——函数z=f (x,y)在 M 点P0处沿方向l 的变 化率; . 方向导数的物理意义: N 方向导数的几何意义: ——曲面z=f (x,y) 在点M处沿方向l 半切线的斜率。 3/7
定理1如果zf(P)在P0可微,那末在P沿任意方 向l的方向导数都存在,且有 a f cos a+ coS B(+cos n) al ax O az (E,E(cos a, cos B) of af ox a1 Ox a af dj (=(,c,s).(cos a, cos B, cos r) ay az 其中a、B(、y)为方向l的方向角
定理 1 如果 z=f (P)在 P0可微,那末在 P0沿任意方 向 l 的方向导数都存在,且有 cos cos ( cos ) z f y f x f l f + + = , )(cos,cos ) y f x f =( l e y f x f • =( , ) ( , , ) • (cos,cos ,cos )) = z f y f x f ( 其中 、(、 )为方向 l 的方向角. 4/7
梯度的概念 对f(P)=f(x,y)(f(x,y,z),称 gradf(P)=gradf(, y)=(af af (gradf(x, y, srof of af ay 为f(P)的梯度。 由方向导数公式知 af dl gradf(P).eFl gradf(P)lcslgradf(P), en) 当cos( gradf(P),,)=时,有最大值
二、梯度的概念 对 f (P) = f (x, y)( f (x, y,z)),称 ( ) ( , ) ( , ) y f x f gradf P gradf x y = = ( ( , , ) ( , , )) z f y f x f gradf x y z = 为 f (P)的梯度。 由方向导数公式知 l f l gradf P e = ( ) | ( )| cos( ( ), ) l gradf P gradf P e = l f 当cos( ( ), ) = 1时, 有最大值. l gradf P e 5/7