第二章 数与微分 导数概念一—函数的变化率问题 微分概念一——函数的增量问题
第二章 导数与微分 导数概念-----函数的变化率问题 微分概念-----函数的增量问题
第一节导数概念 一、引例 二、导数的定义 左、右导数 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性 的关系
第一节 导数概念 一、引例 二、导数的定义 五、导数的几何意义 三、左、右导数 四、用定义计算导数 六、函数的可导性与连续性 的关系
引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求t1时刻的瞬时速度 取一邻近于的时刻运动时间A, △t 平均速度v △SS-S, 0=8(t+t) △tt 2 当t→t1时,取极限得 瞬时速度v=im8(t+ 2 0
一、引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题 0 t t , 求t 0时刻的瞬时速度 t 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . = gt0
2切线问题割线的极限位置—切线位置 50 20 1.251.51.7522.252.52.753
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
如图,如果割线MN绕点 y=f(r) M旋转而趋向极限位置 MT直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 C M 极限位置即 xx MN→0,∠MMT→0.设M(x0,y,N(x,y) 割线M的斜率为m9y-y_f(x)-f(xn) 沿曲线C 0 M,x→xo 切线Mm的斜率为k=tano=lim f(x)-f(x0) x→x
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
二、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 x+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量4y=∫(x+△x)-f(x0);如果y与 △x之比当△x→>0时的极限存在则称函数 y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x在点x处的导数记为=
二、导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在 点 的某个邻域内
或 df(rr) d xl d x rr=no lim f(x0+△x)-f(x0) m x=X0△x0△ →>0 其它形式f(x)=lim101h)-f(xn) h→>0 f(x)=加mnf(x)-f(x) x→x0 -x
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . h f x h f x f x → h + − 其它形式 = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x → x x − = − x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) x x0 x x0 dx df x dx dy = 或 = 即
关于导数的说明: ★点导数是因变量在点x处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导,就称函数∫(x)在开区间I内可导
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明：
★对于任一x∈I,都对应着∫(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 记作y,f(x),或(x) d x 即y’=li ∫(x+△x)-f(x) 0 △v 或∫'(x) f∫(x+h)-∫(x) 注意:1.f(x)=f(x)-xn
. ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = = ★
2导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数 100 -25 50 75
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