国家重点实验室 第四章多项式环与有限域
第四章 多项式环与有限域
国家重点实验室 一、子环与理想 子环:若环中的子集S,关于R中的代数运算也 构成环,则称S是R的子环,R是S的扩环 ●理想:S是交换环R的一个子环,若S中的元素 由某几个元素及其所有可能的倍元构成,则S 是一个理想 主理想:若理想中的元素由一个元素的所有倍 数及其线性组合生成,则称这个理想为主理想。 剩余类环:设R是可换环,I为R的一个理想, 则R模I构成一个可换环,称它为环R以理想I为 模的剩余类环M
一、子环与理想 子环：若环中的子集S，关于R中的代数运算也 构成环，则称S是R的子环，R是S的扩环 理想：S是交换环R的一个子环，若S中的元素 由某几个元素及其所有可能的倍元构成，则S 是一个理想 主理想：若理想中的元素由一个元素的所有倍 数及其线性组合生成，则称这个理想为主理想。 剩余类环：设R是可换环，I为R的一个理想， 则R模I构成一个可换环，称它为环R以理想I为 模的剩余类环M
国家重点实验室 二、多项式(一) 多项式f(x)frxn+fn-n-++f+f 其中f∈Fpi01,n,该多项式称为域F上的多项式 ,, 多项式次数degf(x):系数不为零的x的最高次数 称为多项式f(x)的次数 ●首一多项式最高次数的系数为1的多项式 既约多项式设f(x)是次数大于零的多项式,若除 常数和常数与本身的乘积以外,再不能被域F上 的其他多项式整除,则称f(x)为域F上的既约多 项式 多项式的因式分解问题、根的问题 ●最大公因式与最小公倍式
二、多项式（一） 多项式 f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0 多项式次数 degf(x)：系数不为零的x的最高次数 称为多项式f(x)的次数 首一多项式:最高次数的系数为1的多项式 既约多项式:设f(x)是次数大于零的多项式，若除 常数和常数与本身的乘积以外，再不能被域Fp上 的其他多项式整除，则称f(x)为域Fp上的既约多 项式 多项式的因式分解问题、根的问题 最大公因式与最小公倍式 其中 i Fp f i=0,1,…n，该多项式称为域Fp上的多项式
二、多项式(二) 国家重点实验室 f()"+fn-]- ... x+fo f∈F g()"+8n-1-r-1+...++ gi∈ 若对所有i,f=g则f(x)=g(x) 多项式加法 f(x)+(x)=(fn+)"+(fn-1+8n-1)xn-1+...+(fi +g1)+f +go) 多项式乘法 f(x)(x)=hn++hn+m-1+m-l+.. rtho f8i012mnm h={10 ∑f =i-m i=m+1, m+2,..,m+n 结论:按上述定义的加法和乘法运算,Fx构成一个具有单位 元、无零因子的可换环
二、多项式（二） f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0 i Fp f g(x)=gnx n+ gn-1x n-1+…+ g1x+g0 gi Fp 若对所有i, f i=gi , 则f(x)=g(x) 多项式加法 f(x)+g(x)=(fn + gn )x n+ (fn-1+ gn-1 )xn-1+…+ (f1 + g1 )x+(f0+ g0 ) 多项式乘法 f(x)g(x)=hn+mx n+m+hn+m-1x n+m-1+…+h1x+h0 0 0,1,2,..., , 1, 2,..., i j i j j i n j i j j i m f g i m n m h f g i m m m n − = − = − = = = + + + 结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fp [x]构成一个具有单位 元、无零因子的可换环
重点三、多项式剩余类环 定义:以一个F上的多项式f(x)=frxn+fn-+ fix+f为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fn上的所有次数小于n-1的多项式构成n次多项式的 剩余类全体 剩余类之间的加法和乘法运算规则 a()+b(x) =a(x)+b(x a()b(x)=a(x)b(x
三、多项式剩余类环 定义：以一个Fp上的多项式f(x)=fnx n+ fn-1x n-1+…+ f1x+f0为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fp上的所有次数小于n-1的多项式构成n次多项式的 剩余类全体 a(x) + b(x) = a(x) + b(x) a(x) • b(x) = a(x) • b(x) 剩余类之间的加法和乘法运算规则
N 国家重点实验室 Examples 1、GF(2)上的多项式f(x)=x2+1的剩余类全体为: 一 0,1,x,x+1 2、GF(2)上的多项式f(x)=x2+x+1的剩余类全体为: 0,1,x,x+1 对所定义的加法和乘法运算,前者构成剩余类环,后者构成域 结论:若n次首一多项式f(x)在域F上既约,则f(x)的剩余类环构成 一个有p个元素的有限域
Examples 1、GF(2)上的多项式 f(x)=x 2+1的剩余类全体为： 0,1, x, x +1 2、GF(2)上的多项式 f(x)=x 2+x+1的剩余类全体为： 0,1, x, x +1 对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域 结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x)的剩余类环构成 一个有p n个元素的有限域
国家重点实验室 两个结论 多项式环F[x]的一切理想均是主理想 多项式剩余类环F[x]f(x)中的每一个理想都是主 理想
两个结论 多项式环Fp [x]的一切理想均是主理想 多项式剩余类环Fp [x]/f(x)中的每一个理想都是主 理想
国家重点实验室 四、循环群 循环群的定义 循环群的构造及性质 循环群中元素级的性质
四、循环群 循环群的定义 循环群的构造及性质 循环群中元素级的性质
国家重点实验室 循环群的定义 定义:由一个单独元素的所有幂次所构成的群称 为循环群,该元素为循环群的生成元 注 1、幂次的含义与在群上所定义的运算有关。若定 义加法运算,幂运算为连加运算;若定义乘法运 算,则幂运算为连乘。 2、循环群的生成元不止一个。 3、凡是循环群必是可换群
循环群的定义 定义：由一个单独元素的所有幂次所构成的群称 为循环群，该元素为循环群的生成元 注： 1、幂次的含义与在群上所定义的运算有关。若定 义加法运算，幂运算为连加运算；若定义乘法运 算，则幂运算为连乘。 2、循环群的生成元不止一个。 3、凡是循环群必是可换群
国家重 xamples: 模4剩余类全体关于加法运算构成循环群,生 成元为1和3。 模5全体非零剩余类关于乘法构成循环群,生 成元为2和3
Examples: 模4剩余类全体关于加法运算构成循环群，生 成元为1和3。 模5全体非零剩余类关于乘法构成循环群，生 成元为2和3