江厶增控制科学与工程学系 数学建模 Mathematical modeling
数学建模 Mathematical Modeling
Chapter 2 Methods of Mathematical Modeling and realization with matlab 2.1 Method-1: Modeling with experiments 2.2 Method -2: Modeling with simulation 2, 3 Realization with matlab
2.1 Method-1：Modeling with Experiments 2.2 Method -2：Modeling with Simulation 2.3 Realization with Matlab Chapter 2 Methods of Mathematical Modeling and Realization with Matlab
2.1 Modeling with Experiments 提出的原因: 许多情况下,建模者不能构造一个满意的解释已知状况的易于处理 的模型形式,此时为预测其状况,可以进行试验采集数据以构造经验模 型 21.1简单的单项模型 21.2高阶多项式模型 实验建模 21.3低阶多项式模型 21.4三阶样条模型 2.1.5构造经验模型小结
2.1 Modeling with Experiments 提出的原因： 许多情况下，建模者不能构造一个满意的解释已知状况的易于处理 的模型形式，此时为预测其状况，可以进行试验采集数据以构造经验模 型。 2.1.1 简单的单项模型 2.1.2 高阶多项式模型 2.1.3 低阶多项式模型 2.1.4 三阶样条模型 2.1.5 构造经验模型小结 实 验 建 模
2.1.1简单的单项模型: Harvesting Blue Fish/ Crabs Section 1992年《每日评论》报告了收集到的过去50年中 Chesapeake还玩海产品 收成方面的数据,如下: (a)收获蓝鱼的观测数据; (b)收获蓝蟹的观测数据 Table 4.3 Harvesting the bay: Bluefish, 1940-1990 Table 4.4 Harvesting the bay: Blue crabs, 1940-1990 Year Base year Bluefish(Ib)Year Base vear Blue crabs(Ib) y 1940 0 15.0001940 0 100.000 150.0001945 850.000 1950 250001950 1,30000 1955 275,0001955 2.500000 1960 3456789 270.0001960 3,000,000 280,0001965 3,700,000 1970 2900001970 6 4,400,000 1975 650.0001975 7 4,660,000 1980 1,200,0001980 4.800.000 1985 1,550.0001985 4.420.000 1990 2,750.0001990 5,000000
Section： 1992年《每日评论》报告了收集到的过去50年中Chesapeake还玩海产品 收成方面的数据，如下: (a)收获蓝鱼的观测数据； (b)收获蓝蟹的观测数据 2.1.1 简单的单项模型: Harvesting Blue Fish/Crabs
利用变量z的幂次阶梯表,帮助选择适当的线性变换 幂次阶梯 22 10g 3000000 6000000 2500000 5000000 蓝200 鱼 1500000 蓝蟹⌒磅 000000 磅 1000000 2000000 500000 1000000 0 0 8 蓝鱼收成对基底年数(五年一间隔) 蓝蟹收成对应基底年数(五年一间隔)
利用变量z的幂次阶梯表，帮助选择适当的线性变换 幂次阶梯 … … z log z 1 z 1 z 2 1 z 2 z z 0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000 0 2 4 6 8 10 蓝 鱼 （ 磅 ） 蓝鱼收成对基底年数（五年一间隔） 0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 0 2 4 6 8 10 蓝 蟹 （ 磅 ） 蓝蟹收成对应基底年数（五年一间隔）
对于收获的蓝鱼,可见数据倾向为增的、凹的,使用幂 次阶梯挤压右侧尾部向下,采用logy或者其他阶梯向下 的变换代替y 选取logy对x的模型,用最小二乘拟合模型 Igure 4.5 Fi Superimposed data and model y=52857(14635) logy=0.7231+0.1654x 300 y=52857(1.4635) 200 g100 为了有一个简单的单项模 型,我们接受某些误差 yea
选取log y对x的模型，用最小二乘拟合模型 log 0.7231 0.1654 y x = + 5.2857(1.4635)x y = 为了有一个简单的单项模 型，我们接受某些误差 对于收获的蓝鱼，可见数据倾向为增的、凹的，使用幂 次阶梯挤压右侧尾部向下，采用log y或者其他阶梯向下 的变换代替y
对于收获的蓝蟹,可见数据倾向为增的、下凹的,改变 y的值为y2或y等,来线性化数据 选取√x代替x的模型,用最小二乘拟合模型 ■ Figure47 The line y=158.344x 500 三400 y=k√x s300 y=kva 200 100 y=158344x 有时会需要对未来进行预测或者外推,而实际上这些简单的模型预测出 的结果会偏大或者偏小,因此,简单但想模型一般应用于插值二而非外推
选取 代替x的模型，用最小二乘拟合模型 对于收获的蓝蟹，可见数据倾向为增的、下凹的，改变 y的值为 y 2 或 等，来线性化数据 3 y x y k x = y x =158.344 有时会需要对未来进行预测或者外推，而实际上这些简单的模型预测出 的结果会偏大或者偏小，因此，简单但想模型一般应用于插值二而非外推
2.1.2高阶多项式模型 单项模型 易于进行模型分析:敏感性分析、优化、变化率以及曲线下 面积估计;可用性有限; 多项式模型---容易积分、微分 Section: Elapsed Time of a Tape recorder 收集一个特定的录音机的计数器读数(旋转的圈数)和相应的录音机的 播放时间。如何预测可能出现的情况? 100200300400500600700800 ti(s)2054306779451233154218722224 经验模型是通过数据的每一点的多项式,8个数据点,应期望一个最高为7的唯 多项式,记作: a + tac fac tasc tac +azc 代入上述8个数据点,你和曲线,求得0,C12…,al7的值
2.1.2 高阶多项式模型 单项模型----------易于进行模型分析：敏感性分析、优化、变化率以及曲线下 面积估计；可用性有限； 多项式模型-------容易积分、微分 Section：Elapsed Time of a Tape Recorder 收集一个特定的录音机的计数器读数（旋转的圈数）和相应的录音机的 播放时间。如何预测可能出现的情况？ Ci 100 200 300 400 500 600 700 800 ti(s) 205 430 677 945 1233 1542 1872 2224 经验模型是通过数据的每一点的多项式，8个数据点，应期望一个最高为7的唯 一多项式，记作: 代入上述8个数据点，你和曲线，求得 的值 2 3 4 5 6 7 7 0 1 2 3 4 5 6 7 P a = + + + + + + + a c a c a c a c a c a c a c 0 1 7 a a a ,
求解得到: 经验模型数据拟合结果对比: a0-1399923 ■ Figure411 12329119031 2400 An empirical model for predicting the elapsed time of a tape recorder a2-29.08333188 200 a31978472156 1600 a4-5354166491 a50.8013888621 800 a6-0.0624999978 a70.0019841269 0100200300400500600700800 经验模型拟合数据,并进行数据预测 ci100200300400500600700800 ti2054306779451233154218722224 Pn20543067794512154218722
求解得到： 经验模型数据拟合结果对比： 经验模型拟合数据，并进行数据预测 a0 -13.9999923 a1 232.9119031 a2 -29.08333188 a3 19.78472156 a4 -5.354166491 a5 0.8013888621 a6 -0.0624999978 a7 0.0019841269 ci 100 200 300 400 500 600 700 800 ti 205 430 677 945 1233 1542 1872 2224 P7 205 430 677 945 1233 1542 1872 2224
多项式的拉格朗日形式: Theorem 1 如果,x,x12…,xn是(n+1)个不同的点,而y,y2…,yn 是这些点上对应的观测值,那么,存在一个唯一的最高阶为n 的多项式P(n),具有性质 k=P(x)对k=0,1,,n 这一多项式由下式给定 其中 P(k)=yoLo(x)+.+y, Ln(x) x-x0(x-x1)…(x-x-1)(x-xk+)…( X-X k (xk-x)x2x1)…( )( k+1
Theorem 1： 如果， 是（n+1）个不同的点，而 是这些点上对应的观测值，那么，存在一个唯一的最高阶为n 的多项式P(n)，具有性质： 对k=0,1,…,n 这一多项式由下式给定 其中 0 1 , ,..., n x x x 多项式的拉格朗日形式： 0 1 , ,..., n y y y ( ) k y P x = 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y L x y L x k n n = + + 0 1 1 1 0 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x − + − + − − − − − = − − − − −
