自动下载此图 华罗庚与中国数学 王元 (中国科学院数学研究院)
华罗庚与中国数学 王 元 （中国科学院数学研究院）
自动下载此图片 华罗庚与中国的数论 中国近代数论是由杨武之开始的。他于1928年获得美国芝加哥大学博 士学位。师从狄克逊(L.E. Dickson)。他曾证明过,每个正整数都是九个形 (x-1)x(x+1) 的非负整数之和。这是最早的中国近代数论结果。 1929年,杨武之受聘来清华大学数学系执教。1931年华罗庚来清华大 学数学系任助理员,边工作边学习。系里与他同时的年轻人有陈省身、许宝 騄、柯召与吴大任。其中华罗庚与柯召对数论感兴趣,由杨武之指导他们。 1936年,华罗庚与柯召去英国,分别进入剑桥大学与曼彻斯特大学,师 从哈代(GH. Hardy)与莫德尔(LJ. Mordel)研究数论。1938年他们回
自动下载此图片 国,华罗庚应聘去西南联合大学执教。柯召以后一直在四川工作,执教于重 庆大学与四川大学。另外,闵嗣鹤于1935年毕业于北京师范大学,有突出 表现,杨武之介绍他去清华大学任助教,后又去西南联大执教,在华罗庚领 导下进行数论研究,他们有不少合作。以后,闵嗣鹤一直在清华大学与北京 大学执教。 早在华罗庚去英国前,他就开始在当时的主流数论,即哈代——李特伍 德(JE. Littlewood)一拉马努扬(S. Ramanujan)圆法与维诺格拉朵夫(I.M Vinogradov)指数和估计方法方面工作,这使他掌握了数论的制高点,所以 他的数论工作,无论就其广度与深度而言,无疑在中国都是最为突出的,他 的数论工作,在解析数论中有着持久的影响力。受到国际同行的尊敬。另外, 华罗庚广招学生,撰写入门书,所以在中国数论发展中树立起了中心的作用
自动下载此图片 现在,我们对华罗庚与他的学生的数论工作,简单介绍于下: 、三角和的估计 命q为一个正整数及f(x)为一个整系数多项式 f(x)=a4x2+…+ax, 此处(a4…,a1q)≥=1.考虑完整三角和 S(24(y)=e= 若f(x)=x2,则sx2)为熟知的高斯( C.F Gauss和,高斯证明了 S(q,(x)的估计是一个历史悠久的问题。在华罗庚之前,只有人研究过一些 特殊多项式对应的三角和。1940年,华罗庚用一个很优美的方法证明了
自动下载此图片 (1)-o2+) 此处ε为任意给予之正数及与O有关的常数仅依赖于k与ε。估计(1)是臻 于至善的,取q=P3,其中p为素数,且p=k,则p3,x)=()+,即(1) 之右端误差主阶是最佳的。 对于完整的三角和,华罗庚于1958年证明了,当(a,q)=1及b≠0时, (2) ax+b q 此处s>0及与O有关的常数依赖于s与k,这一结果对华林(G. Waring)问 题有重要应用。 华罗庚改进与简化了维诺格拉朵夫关于韦尔(H.Weyl)和的估计,我 们在此就不作定量解释了。华罗庚指出这个方法的核心为一个中值公式。在 往后的一些重要专著,例如瓦尔菲茨(A. Wallis),蒂奇马什(E.C. Titchmarsh)
自动下载此图片 帕拉哈(K. Prachar)等的书,在讲述维诺格拉朵夫方法时,都是按照华罗庚 的方法来阐述的。 华林问题及有关的问题 1770年,华林猜想,对于整数k≥2,存在仅依赖于k的整数s(k),使每 一个正整数皆可表为s个非负数整数的k次方幂之和,即 (3)N=x+…+x2,N>0,x.s≥0 华林的猜想是希尔伯特(D. Hilbert)于1900年证明的,但由希尔伯特方法 确定的s(k)是非常大的。1920年代,哈代与李特伍德发展了堆垒数论中一个 强有力的方法—圆法这一方法将给出华林问题精密得多的结果。命g(k)表 示最小的s使(3)成立,又命G(k)表示最小的s使(3)对于充分大的N成立。 则g(k)比G)大的多,所以G(k)的上界估计更为重要。命r:A(N)表示(3)式 的解答个数,则哈代与李特伍德证明了
自动下载此图片 此处(N)称为奇异级数,他有一个独立于N的正下界。由此立即推出 G(k)≤(k-2)24+5,华罗庚在1938年将哈代—李特伍德的结果改进为 (4)G(k)≤22+1 同时,他也证明了当s≥2+1时,r:(N)的渐进公式成立。华罗庚的这项工作 的核心在于证明下面所谓的华氏不等式。 (5) da=olp 当k较小时,由华氏不等式得到的华林问题结果,直到近年才由沃恩(R.C Vaughan)与希斯一仆朗(D.R. Heath-Brown)作了一点改进,他们将r(N)
自动下载此图片 渐进公式成立的条件分别改进为s≥2与s≥2+1,另外,不用圆法,基于 史尼尔曼(L.G. Schniselman)关于自然数贯的密率方法,林尼克(YiuV. Linnik)给了希尔伯特定理一个初等新证明。达文坡特( H. Davenport)评述 这项工作时写道:“这个证明的想法无疑受到哈代和李特伍德方法某些性质 的启发,特别是华氏不等式。 在1930s,很多数学家研究了将x换成一个k次多项式的华林问题的推 。这种推广的主要困难是由于华罗庚的估计(1)而得到克服,他得到希 伯特定理一个非常一般的表述。命f(x为1≤i≤s)为s个首项系数为正的k次 整值多项式。华罗庚在1940年完成了将方程(3)的主要结果推广至 N=f(x1)+…+f(x:)
自动下载此图片 华罗庚还系统地硏究了所谓华林——哥德巴赫(C. Goldbach)问题。这 是关于(3)及其推广的可解性问题,其中诸x,限制取素数值。例如他证明 (7)s≥ (k ≤10 (logk-loglogk +2.5)(k>10 时,方程 (8)N=p1+…+p 的解数有一个渐进公式,其中p取素数。在此(7)式前一项由华氏不等式 得出,后一估计则由他改进过的维诺格拉朵夫方法得出,原来方法的估计为 s≥10k21gk.华罗庚研究了方程(8)的奇异级数的正值性,华罗庚证明了每 个充分大的= simod)的整数都可以表示为s个素数的k次方幂之和且有表示 个数的渐进公式,其中s满足(7),而K是一个依赖于k的常数。如果不要求 表示个数有渐进公式,则s的下界可以降至s0,其中
自动下载此图片 SA klog 我们举两个例子看看华罗庚的结果:当k=1时,K=2;k=2时,K=24,故 得 (9)每个充分大的奇数都是三个素数之和(维诺格拉朵夫) (10)每个=5md24)的大整数都是5个素数之平方和。 华罗庚将他关于堆垒素数论及指数和估计方面原创性结果写成专著 (11)堆垒素数论 在前苏联科学院斯泰克洛夫数学研究所以专著形式于1947年出版,出版后 立即引起世界数学界的关注。1960-1970年间,该书被译成中文、日文、德 文、匈牙利文及英文出版,直到今天仍为该领域经典的必引文献。在1940°s 年代,懂得堆垒数论的圆法与维诺格拉朵夫的两个指数和估计方法的人还很