《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）5.4 动物繁殖问题

§5.4动物繁殖问题 问题某农场饲养的某种动物达到的最大年龄为15岁, 将其分成三个年龄组:第一组,0~5岁;第二组,6~10 岁;第三组,11~15岁动物从第二年龄组开始繁殖后代, 经过长期统计,第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4 个后代,第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代 第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组 的存活率分别为1/2和14.假设农场现有三个年龄段的动 物各1000头,问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头?

§5.4 动物繁殖问题 问题 某农场饲养的某种动物达到的最大年龄为15岁， 将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组， 6～10 岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组开始繁殖后代， 经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4 个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代. 第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组 的存活率分别为 1/2 和 1/4 . 假设农场现有三个年龄段的动 物各1000头,问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？

问题分析与建立模型 因年龄分组为5岁一段,故将时间周期也取为5年15 年后就经过了3个时间周期设x表示第k个时间周期第 组年龄阶段动物的数量(k=1,2,3;=1,2,3) 因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的 数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量, 所以有 k) (k-1)、(k X (k=1,2,3)

问题分析与建立模型 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15 年后就经过了3个时间周期.设 表示第k个时间周期第i 组年龄阶段动物的数量( k =1,2,3; i=1,2,3). 因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的 数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量， 所以有 (k ) i x ( 1,2,3). 4 1 , 2 1 ( 1) 2 ( ) 3 ( 1) 1 ( ) 2 = = = − − x x x x k k k k k

又因为某一时间周期,第一年龄组动物的数量是 由上一时间周期各年龄组出生的动物的数量,所以有 x2)+3x3)(k=12,3) 于是我们得到递推关系式: 4. (k-1) (k-1) 2 +3x 121 (k-1)

又因为某一时间周期,第一年龄组动物的数量是 由上一时间周期各年龄组出生的动物的数量, 所以有 于是我们得到递推关系式:          = = = + = + = − − − − − − , 4 1 , 2 1 4 3 , 4 3 ( 1,2,3) ( 1) 2 ( ) 3 ( 1) 1 ( ) 2 ( 1) 3 ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) 3 ( 1) 2 ( ) 1 k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x k

用矩阵表示 (k) 043/xk-1) (k) 00‖x2 (k-1) (k=1,2,3) (k) 2 0 0 4 (k)=LX (k-1) (k=1,2,3) (5.1) 其中 043 1000 00,x (0) 1000 2 1000 0 0 4

          =                 = = = =                           =           − − − − 1000 1000 1000 0 4 1 0 0 0 2 1 0 4 3 1 2 3 (5.1) 1 2 3 0 4 1 0 0 0 2 1 0 4 3 0 1 1 3 1 2 1 1 3 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L , x x L x ( , , ) ( , , ). k k x x x x x x k k k k k k k k 用矩阵表示 即 其中

则有 43/1000 7000 x(1)=Lx(O)= 0120 0O‖1O00 500 1000 250 O 043/7000 2750 (2)=L 00‖500 3500 2 250 125 0432750 14375 (3) (2) 00‖3500 1375 125 875

x L x . x L x , x L x ,           =                           = =           =                           = =           =                           = = 875 1375 14375 125 3500 2750 0 4 1 0 0 0 2 1 0 4 3 125 3500 2750 250 500 7000 0 4 1 0 0 0 2 1 0 4 3 250 500 7000 1000 1000 1000 0 4 1 0 0 0 2 1 0 4 3 (3) (2) (2) (1) (1) (0) 则有

15年后农场饲养的动物总数将达到16625头,其中 0~5岁的有14375头,占8647%,6~10岁的有1375头, 占827%,11~15岁的有875头,占526%.15年间动物总 增长16625-3000=13625头, 13625 总增长率为 454.16% 3000 注要知道很多年以后的情况,可通过研究5.1)式 x(k)=Lx(-1)=Dx) 中当k趋于无穷大时的极限状况得到

15年后,农场饲养的动物总数将达到16625头,其中 0～5岁的有14375 头, 占 86.47%, 6～10 岁的有1375 头, 占8.27 %,11～15岁的有875头,占5.26 %. 15年间,动物总 增长16625 – 3000 =13625头, 总增长率为 = 454.16 % 注 要知道很多年以后的情况,可通过研究(5.1)式 中当 k 趋于无穷大时的极限状况得到. 3000 13625 ( ) ( 1) (0) x Lx L x k k k = = −