524逆矩阵 、逆矩阵概念 定义2.16设A是n阶方阵,如果存在n阶方 阵B,使得AB=BA=Ⅰ,则称A为可逆矩阵,B称 为A的逆矩阵,记作A 例如 21 B 34 53 55 为二阶矩阵,则有
§2.4 逆 矩 阵 一、逆矩阵概念 定义 2.16 设A 是n 阶方阵，如果存在 n 阶方 阵B ，使得 AB = BA = I , 则称A为可逆矩阵，B 称 为A 的逆矩阵，记作A–1 . 例如 为二阶矩阵，则有 − − = = 5 2 5 3 5 1 5 4 3 4 2 1 A ,B
21 55 10 4.B 34儿-32(01 55 4 B.A=5 10 3234/(0 5 5 所以A和B是两个可逆矩阵,且互为逆矩阵 定理2.3若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是 惟一的
B A I A B I = = − − = = = − − = 0 1 1 0 3 4 2 1 5 2 5 3 5 1 5 4 0 1 1 0 5 2 5 3 5 1 5 4 3 4 2 1 所以 A 和 B 是两个可逆矩阵，且互为逆矩阵. 定理 2.3 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是 惟一的
证明设B是A的逆矩阵,C是任意一个 逆矩阵,则由AB=BA=I,AC=CA=I 可得B=IB=(CAB=C(4B)=CI=C 故A的逆矩阵是惟一的 可逆矩阵具有以下性质: 设A,B均为n阶方阵,则有 (1)若A可逆,则A1也可逆,且(4-1)-1=A (2)若A与B均可逆,则其乘积AB也可逆,且 (AB)1=B1A1; (3)若A可逆,则其转置矩阵4T也可逆,且 (4)1=(A-1)T
证明 设B是A的逆矩阵，C是A任意一个 逆矩阵, 则由 AB = BA = I, AC = CA = I 可得 B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C 故A 的逆矩阵是惟一的. 可逆矩阵具有以下性质： 设A ,B 均为 n 阶方阵，则有 （1）若A可逆，则 A-1也可逆,且 (A-1) -1 =A （2）若A与B均可逆,则其乘积AB也可逆,且 (AB) -1= B-1A-1 ； （3）若A可逆,则其转置矩阵AT 也可逆,且 (AT) -1= (A-1) T ；
(4)若A可逆,数k≠0,则kA可逆,且(kA)=A k (5)若A可逆,则 由逆矩阵的定义可证明上述性质.下面只给出(2) 的证明. 证明(2)因为A与B可逆,所以A1,B-1存在, IT (AB)(BIA-D=A(BB-A-1=AIA-I=AA-1=I (B-1A D )(AB=B-1(A-IAB=BlIB=B-IB=I 所以(AB)1=B141
（4）若A可逆，数k≠0,则 kA可逆,且 （5）若A 可逆，则 由逆矩阵的定义可证明上述性质.下面只给出（2） 的证明. 证明(2) 因为A与B可逆，所以 A-1 ,B-1存在， 而 (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AI A-1=A A-1=I (B-1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B = B-1 I B= B-1B=I 所以 (AB) -1= B-1A-1 . 1 −1 1 − = = A A A 1 1 1 ( ) − − A = A k k
由可逆矩阵的定义,还可证明:初等矩阵 都是可逆的,并且其逆矩阵仍是初等矩阵,且有 I(G,j)=I(,j),f(k)=(i( l(i(k),,=l(i(k),j) 可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法 1.伴随矩阵法 定义2.17设A是一个n阶矩阵 A 22 2n n2
由可逆矩阵的定义，还可证明：初等矩阵 都是可逆的，并且其逆矩阵仍是初等矩阵，且有 二、可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法 1. 伴随矩阵法 定义2.17 设A 是一个n 阶矩阵 I , I , . I , I , I I ( ( ) ) ( ( ) ) )); 1 ( ) ( ); ( ( )) ( ( 1 1 1 i k j i k j k i j i j i k i = − = = − − − = n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 A
由n阶方阵A的行列式|A|中元素a的代数 余子式An(,j=1,2,…,n)构成的n阶矩阵 21 22 n2 In 称为矩阵A的伴随矩阵.记作A 根据行列式的展开定理可以证明:AA=AA=A 定义218若n阶方阵A的行列式|A≠0,则称 A为非奇异矩阵;反之,若|A|=0,则称A为奇异矩 阵
由n 阶方阵A 的行列式︱A︱中元素aij 的代数 余子式 Aij(i, j =1,2,···,n)构成的n 阶矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵.记作 . 根据行列式的展开定理可以证明： 定义2.18 若n 阶方阵A 的行列式︱A︱≠0,则称 A为非奇异矩阵；反之,若︱A︱=0,则称 A 为奇异矩 阵. n n nn n n A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 AA A I . ~ A ~ A = = A ~
定理24n阶方阵A可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且有A=A 证明必要性设A可逆,则有 AA-=AA=IAA-=AA 所以,A|≠0,即A为非奇异的 充分性设4为非奇异的,则|A|≠0,于是有 A4=AA=4, 则得A(A)=(4)A= 由逆矩阵的定义知,A可逆,且41 A
定理 2.4 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵，并且有 . 证明 必要性 设A可逆，则有 所以,︱A︱≠0 ,即A为非奇异的. 充分性 设A为非奇异的，则︱A︱≠0, 于是有 则得 由逆矩阵的定义知，A可逆，且 A A A 1 1 ~ = − 1 1 1 1 1 = = = = = − − − − AA A A I, A A AA I AA = AA = AI, ~ ~ A)A I A A A A = = ~ 1 ~ ) ( 1 ( . ~ A A A 1 1 = −
这个定理不仅给出了判别n阶方阵是否可逆的条 件,而且在可逆的情况下,还给出了求逆矩阵的一种 方法—伴随矩阵法 例1求A=210的伴随矩阵 32-5 解 10 11 542=(/20 A3=(-1) 1+3 223 7
这个定理不仅给出了判别 n 阶方阵是否可逆的条 件，而且在可逆的情况下，还给出了求逆矩阵的一种 方法——伴随矩阵法. 例 1 求 的伴随矩阵. 解 − − = 3 2 5 2 1 0 1 0 1 A 7 3 2 2 1 ( 1) 10, 3 5 2 0 5, ( 1) 2 5 1 0 ( 1) 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 = − = − = − − = − = − − = − + + + A A A
01 2,A2=(-1 2+2 3-5 2+3 23 32 2 0 32 3+3 于是可知A的伴随矩阵为 A A 52-1 A2A2A2|=10-22 A34243)(7-21
1. 2 1 1 0 ( 1) 2, 2 0 1 1 1, ( 1) 1 0 0 1 ( 1) 2, 3 2 1 0 ( 1) 2, 3 5 1 1 2, ( 1) 2 5 0 1 ( 1) 3 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 = − = = − = − = − = = − − = − = − − − = = − − = − + + + + + + A A A A A A 于是可知A的伴随矩阵为 − − − − = = 7 2 1 10 2 2 5 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 A A A A A A A A A A ~
例2判断矩阵A是否可逆,若可逆求出 其逆矩阵 03 A=021 315 解因为|A|=-9≠0,所以A可逆 求得A1=9,A2-3,A31=-6,A12-3,A2-4,A2=-1, 4123 A32 故 93-6 33 A 6-12 212 399
例2 判断矩阵A是否可逆，若可逆求出 其逆矩阵. 解 因为 ︱A︱= –9 ≠0 ,所以 A 可逆. 求得 A11=9, A21=3, A31= –6, A12=3, A22= –4, A32= –1, A13= –6, A23= –1, A33=2. 故 = 3 1 5 0 2 1 1 0 3 A − − − − = − − − − − = = − − 9 2 9 1 3 2 9 1 9 4 3 1 3 2 3 1 1 6 1 2 3 4 1 9 3 6 9 1 1 1 A ~ A A